Witt-Ring

Der Begriff des Witt-Rings W ( R ) {\displaystyle W(R)} stammt aus der Algebra. Er soll die quadratischen Räume über einem Ring R {\displaystyle R} , d. h. die R {\displaystyle R} -Moduln mit symmetrischer Bilinearform, zusammenfassen. Er wurde 1937 von Ernst Witt eingeführt.[1]

Definition für beliebige Ringe

Sei R {\displaystyle R} ein kommutativer Ring.

Die Menge der quadratischen Räume, d. h. der R {\displaystyle R} -Moduln mit symmetrischer Bilinearform, hat eine Ringstruktur mit der orthogonalen direkten Summe {\displaystyle \oplus } als Addition und dem Tensorprodukt {\displaystyle \otimes } als Multiplikation. Man bezeichnet zwei quadratische Räume S 1 , S 2 {\displaystyle S_{1},S_{2}} als stabil äquivalent, wenn es T 1 , T 2 {\displaystyle T_{1},T_{2}} gibt, so dass S 1 T 1 {\displaystyle S_{1}\oplus T_{1}} isomorph zu S 2 T 2 {\displaystyle S_{2}\oplus T_{2}} ist.

Stabile Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet mit den durch {\displaystyle \oplus } und {\displaystyle \otimes } induzierten Verknüpfungen einen Ring, der als Witt-Ring W ( R ) {\displaystyle W(R)} bezeichnet wird.

Äquivalente Definition für Körper

Sei K {\displaystyle K} ein Körper der Charakteristik char ( K ) 2 {\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2} . Als hyperbolische Ebene H {\displaystyle H} bezeichnet man den K 2 {\displaystyle K^{2}} mit der symmetrischen Bilinearform b ( x , y ) = 2 x y {\displaystyle b(x,y)=2xy} , als metabolische quadratische Form eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen.

Für solche Körper kann der Witt-Ring W ( K ) {\displaystyle W(K)} äquivalent definiert werden als Menge der Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation: S 1 {\displaystyle S_{1}} und S 2 {\displaystyle S_{2}} sind äquivalent, wenn es eine metabolische quadratische Form M {\displaystyle M} mit S 2 = S 1 M {\displaystyle S_{2}=S_{1}\oplus M} oder S 1 = S 2 M {\displaystyle S_{1}=S_{2}\oplus M} gibt.

Beispiele

  • Für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper K {\displaystyle K} ist W ( K ) Z / 2 Z {\displaystyle W(K)\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } .
  • Für den Körper der reellen Zahlen ist W ( R ) Z {\displaystyle W(\mathbb {R} )\simeq \mathbb {Z} } .
  • Für den Ring der ganzen Zahlen ist W ( Z ) = Z {\displaystyle W(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} } .
  • Für den Körper der rationalen Zahlen ist W ( Q ) = W ( R ) p W ( F p ) {\displaystyle W(\mathbb {Q} )=W(\mathbb {R} )\bigoplus \oplus _{p}W(F_{p})} (schwache Form des Satzes von Hasse-Minkowski).
  • Für einen endlichen Körper F q {\displaystyle F_{q}} mit q 3 mod 4 {\displaystyle q\equiv 3\mod 4} ist W ( F q ) Z / 4 Z {\displaystyle W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} } .[2]
  • Für einen endlichen Körper F q {\displaystyle F_{q}} mit q 1 mod 4 {\displaystyle q\equiv 1\mod 4} ist W ( F q ) Z / 2 Z [ F / F 2 ] {\displaystyle W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[F^{*}/F^{*2}\right]} .
  • Für einen lokalen Körper K {\displaystyle K} mit Maximalideal m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} der Norm N ( m ) 1 mod 4 {\displaystyle N({\mathfrak {m}})\equiv 1\mod 4} ist W ( K ) = Z / 2 Z [ Z / 2 Z Z / 2 Z ] {\displaystyle W(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]} .
  • Für einen lokalen Körper K {\displaystyle K} mit Maximalideal m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} der Norm N ( m ) 3 mod 4 {\displaystyle N({\mathfrak {m}})\equiv 3\mod 4} ist W ( K ) = Z / 4 Z [ Z / 2 Z ] {\displaystyle W(K)=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]} .
  • Für jeden Körper K {\displaystyle K} wird der Torsionsanteil von W ( K ) {\displaystyle W(K)} von Pfister-Formen erzeugt. Die Ordnung jedes Torsionselements ist eine Zweierpotenz.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern, J. Reine Angew. Math., Band 176, 1937, S. 31–44
  2. Winfried Scharlau (1985): Quadratic and Hermitian Forms, p.40, und Martin Kneser (2002): Quadratische Formen, S. 53.