Clausura simétrica

Sea ${\displaystyle R}$ una relación binaria aplicada sobre un conjunto ${\displaystyle A}$, la clausura simétrica o cierre simétrico de ${\displaystyle R}$, denotada ${\displaystyle CS(R)}$, es la relación simétrica más pequeña aplicada sobre ${\displaystyle A}$ que contiene a ${\displaystyle R}$.

En otras palabras, ${\displaystyle CS(R)}$ es la relación binaria que verifica:

1. ${\displaystyle R\subseteq CS(R)}$
2. ${\displaystyle CS(R)\,}$ es simétrica
3. Si ${\displaystyle R'\,}$ es una relación simétrica tal que ${\displaystyle R\subseteq R'}$, entonces ${\displaystyle CS(R)\subseteq R'}$

Note que si ${\displaystyle R}$ es simétrica, entonces ${\displaystyle CS(R)=R}$.

Si tenemos una relación binaria ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {R}}}$ sobre un conjunto de n elementos ${\displaystyle \scriptstyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$, para calcular la clausura simétrica conviene representar esta relación binaria como una matriz booleana ${\displaystyle \scriptstyle B_{\mathcal {R}}}$ definida como:

${\displaystyle B_{\mathcal {R}}=[b_{ij}]\quad {\mbox{donde}}\quad b_{ij}:={\begin{cases}1&{\mbox{si}}\ a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\\0&{\mbox{si}}\ \lnot a_{i}{\mathcal {R}}a_{j}\end{cases}}}$

Es decir, si el elemento a_i y el elemento a_j están relacionados entonces en la fila i y la columna j de la matriz boleana aparecerá un 1, y si no están relacionados aparecerá un 0.

Si tenemos una relación expresada como matriz booleana, para obtener la matriz que representará a la clausura simétrica se cambian algunos ceros (0) por unos (1), en la matriz de la relación original para que la matriz final sea simétrica respecto de la diagonal principal.

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {1} &0&1&0&1&0\\0&\mathbf {1} &0&1&0&1\\1&0&\mathbf {1} &0&1&0\\0&1&0&\mathbf {1} &0&1\\1&0&1&0&\mathbf {1} &0\\0&1&0&1&0&\mathbf {1} \\\end{matrix}}}$

La regla de cambio es: si ${\displaystyle b_{ij}\neq b_{ji}}$ entonces debemos hacer el siguiente cambio ${\displaystyle {\bar {b}}_{ij}:={\bar {b}}_{ji}=\max\{b_{ij},b_{ji}\}}$.

• Clausura reflexiva
• Clausura transitiva