Conjuntos prevalentes y cautos
En matemáticas, las nociones de prevalente y cauto[1] son conceptos similares a "casi en todas partes" y "medida cero", que se adaptan bien al estudio de los espacios de dimensión infinita y que hacen uso de la invariancia a la traslación de la medida de Lebesgue en espacios reales de dimensión finita. El término "cauto" (originalmente shy en inglés) fue sugerido por el matemático estadounidense John Milnor.[2]
Definiciones
Prevalencia y cautela
Sea un espacio vectorial topológico real y sea un subconjunto de con medida de Borel. Se dice que es prevalente si existe un subespacio de dimensión finita de llamado conjunto sonda, tal que para todo se tiene que para casi todo donde denota la medida de Lebesgue dimensional en Dicho de otra manera, para cada de Lebesgue: casi todos los puntos del hiperplano se encuentran en
Se dice que un subconjunto que no es de Borel de es prevalente, si contiene un subconjunto de Borel prevalente.
Se dice que un subconjunto de Borel de es cauto si su complemento es prevalente; se dice que un subconjunto de que no es de Borel es cauto si está contenido dentro de un subconjunto de Borel cauto.
Una definición alternativa, y un poco más general, es definir un conjunto como cauto si existe una medida transversal para (que no sea una medida trivial).
Prevalencia local y cautela
Se dice que un subconjunto de es localmente cauto si cada punto tiene un entorno cuya intersección con es un conjunto cauto. Se dice que es localmente prevalente si su complemento es localmente cauto.
Teoremas sobre prevalencia y cautela
- Si es cauto, también lo es cada subconjunto de y cada traslación de
- Todo conjunto cauto de Borel admite una medida transversal que es finita y tiene soporte compacto. Además, esta medida se puede elegir de modo que su soporte tenga un diámetro arbitrariamente pequeño.
- Cualquier conjunto numerable finito o unión de conjuntos cautos también es cauto. De manera análoga, prevalece la intersección contable de conjuntos prevalentes.
- Cualquier conjunto cauto también lo es localmente. Si es un espacio separable, entonces cada subconjunto localmente cauto de también lo es.
- Un subconjunto de un espacio euclídeo -dimensional es cauto si y solo si tiene medida de Lebesgue cero.
- Cualquier subconjunto prevalente de es denso en
- Si es de dimensión infinita, entonces cada subconjunto compacto de es cauto.
En lo sucesivo, se entiende por "casi todos" que la propiedad indicada se cumple en un subconjunto predominante del espacio en cuestión.
- Casi todas las funciones continuas desde el intervalo hasta la recta real son funciones diferenciables; aquí el espacio es con la topología inducida por la norma del supremo.
- Casi todas las funciones en un espacio tienen la propiedad de que
- Claramente, la misma propiedad se cumple para los espacios de funciones -veces diferenciables
- Para casi todas las secuencias tienen la propiedad de que la serie
diverge.
- Versión de prevalencia del teorema de embebido de Whitney: Sea una variedad compacta de clase y dimensión , contenida en Para , casi todas las funciones de , es un encaje de
- Si es un subconjunto compacto de con dimensión de Hausdorff-Besicovitch y entonces, para casi todas las funciones , también tiene dimensión de Hausdorff
- Para casi todas las funciones tienen la propiedad de que todos sus puntos periódicos son hiperbólicos. En particular, lo mismo es válido para todos los puntos del período , para cualquier número entero
Referencias
Bibliografía
- Hunt, Brian R. (1994). «The prevalence of continuous nowhere differentiable functions». Proc. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 122 (3): 711-717. JSTOR 2160745. doi:10.2307/2160745.
- Hunt, Brian R. and Sauer, Tim and Yorke, James A. (1992). «Prevalence: a translation-invariant "almost every" on infinite-dimensional spaces». Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (2): 217-238. S2CID 17534021. arXiv:math/9210220. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00328-2.
Datos: Q17146673