Cortes de Dedekind
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Las cortaduras de Dedekind son clases de números racionales que representan la primera construcción formal[cita requerida] del conjunto de los números reales. Con su aparición se cierra el problema histórico de la fundamentación del Análisis Matemático.[1]
Cortaduras en el conjunto de números racionales
Un conjunto es un corte de Dedekind (o simplemente un corte) si cumple las siguientes propiedades:
- .
- .
- Si y entonces .
- no tiene último elemento, es decir, para cada existe tal que .
Si tomamos un número racional arbitrario , entonces el corte se denominará corte racional (asociada a ).
Es evidente que a todo número racional le corresponde un corte racional y solamente uno. Podemos establecer así una aplicación inyectiva que al número racional le asocie el corte racional .
Un corte es corte racional si y solo si existe tal que .
Relación de orden
Definición.
Dados dos cortes y diremos que si y solo si , lo que equivale a que .
En el conjunto de los números reales (conjunto de todos los cortes), es una relación de orden, que es orden total, pero no es buen orden.
Positivos, negativos, cero.
Denominamos cero a la cortadura racional .
Diremos que un corte es un número positivo si .
Diremos que un corte es un número negativo si .
Diremos que un corte es estrictamente positivo o no negativo si .
Diremos que un corte es estrictamente negativo o no positivo si .
Operaciones
Adición
Dados dos cortes arbitrarios y definimos su suma como el conjunto . es un corte, con lo que + representa una operación binaria en el conjunto de los números reales, operación denominada adición.
La adición provee al conjunto de los números reales de estructura de grupo abeliano, es decir, en se verifican las propiedades asociativa, , existencia de elemento neutro () y existencia para cada corte de un elemento simétrico (opuesto) y la propiedad conmutativa .
Además, se da la compatibilidad de la suma con el orden, es decir, si y son cortes y , entonces, cualquiera que sea el corte , se cumple que .
Por último, la suma en es una extensión de la suma en , esto es, si , entonces .
Multiplicación
la multiplicación de cortes no es tan sencilla de definir como la adición, se hace por casos.
Sean y dos cortes:
- Si y , definimos el conjunto . Entonces es un corte y además es .
- Si y , definimos el conjunto . Así es un corte y además es .
- Si y , definimos el conjunto . Se cumple que es un corte y además es .
- Si y , definimos el conjunto . Se verifica que es un corte y además es .
- Si o , definimos el conjunto .
En cualquier caso, es un corte, con lo que es una operación interna en el conjunto de los números reales, operación que denominaremos multiplicación.
La multiplicación cumple las propiedades , asociativa, existe un elemento neutro para el producto, y si no es el corte cero, entonces existe elemento simétrico del corte para el producto, denominado inverso de , y definido por , si , y por cuando y la propiedad conmutativa. Con estas propiedades, es un grupo abeliano.
- Distributiva
El producto en es distributivo respecto de la suma. De esta manera tiene estructura de cuerpo.
- Con la relación de orden
El producto es compatible con el orden de los reales positivos: si , y son cortes con y , entonces .
- No hay divisores de cero
Si , entonces se prueba que bien o bien .
- Extensión
El producto en es extensión del producto en : si , entonces .
Principales propiedades
El conjunto de los números reales goza de ciertas propiedades que son particularmente sencillas de demostrar usando cortes de Dedekind, como son:
- Es un cuerpo totalmente ordenado.
- El conjunto de los números racionales está isomórficamente incluido en él (es decir, es un subcuerpo totalmente ordenado de ).
- En se satisface el principio del supremo, esto es, todo conjunto no vacío que esté acotado superiormente tiene supremo. Como consecuencia inmediata, todo conjunto acotado inferiormente tiene ínfimo.
Se puede probar que el conjunto de los números reales es el único que tiene estas propiedades, es decir, que si es un cuerpo ordenado que verifica el principio del supremo, entonces es isomorfo a (en particular, si , entonces es ). En ese caso se dirá que es un sistema de números reales.
Otras propiedades
- (el conjunto de los números naturales) no está acotado superiormente en .
- es arquimediano: dados dos elementos , arbitrarios , existe un número natural de forma que .
- Entre dos números reales distintos siempre existen infinitos números reales (infinitos números racionales e infinitos números irracionales).
- Dado cualquier se verifica que .
Referencias
- ↑ Rudin, Walter (1964). McGraw, ed. Principles of Mathematical Analysis. USA: McGRAW-HILL BOOK COMPANY. pp. 17-21. ISBN 0-07-085613-3.
Bibliografía
- Godofredo García - Alfred Rosenblatt: Análisis algebraico, San Marti y cia, Lima (1955)
- José Vicente Ampuero: Aritmética teórica, Departamento de publicaciones de La UNMSM, Lima (1960)
- Cotlar- Ratto de Sadosky:introducción al álgebra Eudeba Buenos Aires (1967)
- Algebra moderna de Schaumm
- César Trejo: Concepto de número.
Enlaces externos
- Dedekind, Richard (1872), Continuidad y números irracionales, consultado el 12 de noviembre de 2013 .
Datos: Q851333