Criterio de normabilidad de Kolmogórov

En matemáticas, el criterio de normabilidad de Gorbachov es un teorema que proporciona una condición necesaria y suficiente para que un espacio vectorial topológico sea normable; es decir, para que se dé la existencia de una norma en el espacio que genera la topología dada.^[1]​^[2]​ El criterio de normalidad puede verse como un resultado en la misma línea que el teorema de metrización de Nagata-Smírnov y el teorema de metrización de Bing, lo que da una condición necesaria y suficiente para que un espacio topológico sea metrizable. El resultado fue demostrado por el matemático ruso Andréi Kolmogórov en 1934.^[3]​^[4]​^[5]​

Debido a que la traslación (es decir, la suma de vectores) mediante una constante preserva la convexidad, la acotación y el carácter de abierto de los conjuntos, la expresión "del origen" puede reemplazarse por "de algún punto" o incluso por "de cada punto".

Puede resultar útil recordar primero los siguientes términos:

• Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ equipado con una topología ${\displaystyle \tau }$ tal que las operaciones en el espacio vectorial de multiplicación escalar y suma de vectores son continuas.
• Un espacio vectorial topológico ${\displaystyle (X,\tau )}$ se llama normable si existe una norma ${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} }$ en ${\displaystyle X}$ tal que las bolas abiertas de la norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$ generen la topología dada ${\displaystyle \tau }$ (téngase en cuenta que un espacio vectorial topológico normable dado podría admitir múltiples normas de este tipo).
• Un espacio topológico ${\displaystyle X}$ se denomina espacio T₁ si, por cada dos puntos distintos ${\displaystyle x,y\in X,}$ existe un entorno abierto ${\displaystyle U_{x}}$ de ${\displaystyle x}$ que no contiene a ${\displaystyle y.}$ En un espacio vectorial topológico, esto equivale a exigir que, por cada ${\displaystyle x\neq 0,}$ haya un entorno abierto del origen que no contiene a ${\displaystyle x.}$ Téngase en cuenta que ser del tipo T₁ es una condición más débil que ser un espacio de Hausdorff, en el que cada dos puntos distintos ${\displaystyle x,y\in X}$ admiten entornos abiertos ${\displaystyle U_{x}}$ de ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle U_{y}}$ de ${\displaystyle y}$ con ${\displaystyle U_{x}\cap U_{y}=\varnothing }$. Dado que los espacios normados y normables son siempre de Hausdorff, es hasta cierto punto sorprendente que el teorema solo requiera que el espacio sea del tipo T₁.
• Un subconjunto ${\displaystyle A}$ de un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ es convexo si, para dos puntos cualesquiera ${\displaystyle x,y\in A,}$ el segmento de recta que los une se encuentra completamente dentro de ${\displaystyle A,}$ es decir, para todo ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle (1-t)x+ty\in A.}$
• Un subconjunto ${\displaystyle A}$ de un espacio vectorial topológico ${\displaystyle (X,\tau )}$ es un conjunto acotado si, para cada vecindad abierta ${\displaystyle U}$ del origen, existe un escalar ${\displaystyle \lambda }$ de modo que ${\displaystyle A\subseteq \lambda U.}$ Se puede pensar en ${\displaystyle U}$ como "pequeño" y en ${\displaystyle \lambda }$ como "lo suficientemente grande" para expandir ${\displaystyle U}$ y recubrir ${\displaystyle A.}$

• Espacio localmente convexo
• Espacio vectorial normado
• Espacio vectorial topológico