Desigualdad de Nesbitt

En matemáticas, la desigualdad de Nesbitt es un caso especial de la desigualdad de Shapiro. Ésta declara que para los números reales positivos a, b y c se obtiene que:

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

Partiendo de la misma desigualdad de Nesbitt

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}}$

se puede transformar el miembro izquierdo de la desigualdad como:

${\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}-3\geq {\frac {3}{2}}.}$

Ahora esto puede ser transformado como:

${\displaystyle ((a+b)+(a+c)+(b+c))\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9.}$

dividiendo por 3 y pasando el segundo factor al miembro derecho:

${\displaystyle {\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}.}$

De esta manera en el miembro izquierdo de la inecuación queda la media aritmética de los tres números y en el miembro derecho la media armónica, verificando que la desigualdad es cierta.

• Este artículo contiene información de Nesbitt's Inequality en PlanetMath., que se encuentra publicado bajo licencia GFDL.