Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$

es del tipo homogénea si las funciones ${\displaystyle M(x,y)}$ y ${\displaystyle N(x,y)}$ son funciones homogéneas de mismo grado ${\displaystyle n}$.^[1]​ Esto es, multiplicando cada variable por un parámetro ${\displaystyle \lambda }$, se halla

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)}$     y     ${\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y).}$

Así,

${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$

En el cociente

${\displaystyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$

haciendo ${\displaystyle t=1/x}$ para simplificar esta ecuación para una función ${\displaystyle f}$ de la variable simple ${\displaystyle y/x}$:

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$

Se introduce el cambio de variables ${\displaystyle y=ux}$; diferenciando usando la regla del producto:

${\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u,}$

así transformando la ecuación diferencial original en la forma separable

${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u\,;}$

esta forma puede ahora integrarse directamente (ver ecuación diferencial ordinaria).

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma (a, b, c, e, f, g son coeficientes constantes)

${\displaystyle (ax+by+c)dx+(ex+fy+g)dy=0\,}$

donde af ≠ be puede transformarse en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables (${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son constantes):

${\displaystyle t=x+\alpha ;\,\,\,\,z=y+\beta \,.}$

Ahora determinar dichas constantes de forma que los términos independientes sean nulos.

Definición. Una ecuación diferencial lineal se dice que es homogénea si se satisface la siguiente condición: Si  ${\displaystyle \phi (x)}$  es una solución, también lo es  ${\displaystyle k\,\phi (x)}$, donde ${\displaystyle k}$ es una constante arbitraria no nula. Teniendo en cuenta esta condición, cada término en una ecuación diferencial lineal de la variable dependiente y, debe contener y o cualquier derivada de y. Una ecuación que no cumple con esta condición se denomina inhomogénea.

Una ecuación diferencial lineal puede representarse con un operador lineal actuando sobre y(x) donde x es usualmente la variable independiente e y es la variable dependiente. Entonces, la forma general de una ecuación diferencial lineal homogénea es

${\displaystyle L(y)=0\,}$

${\displaystyle }$donde L es un operador diferencial, una suma de las derivadas (definiendo como "derivada 0" a la función original, no derivada), cada una multiplicada por otra función  ${\displaystyle f_{i}}$  de x:

${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}$

donde  ${\displaystyle f_{i}}$  pueden ser constantes, pero no todas las  ${\displaystyle f_{i}}$  pueden ser nulas.

Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial es homogénea:

${\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}$

sin embargo las siguientes dos son inhomogéneas:

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}$

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}$

La existencia de un término constante es una condición suficiente para que una ecuación sea inhomogénea, como el ejemplo anterior.

Son de especial relevancia este otro tipo de ecuaciones, en cuya versión más simplificada son de la forma :${\displaystyle ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=0}$, donde los coeficientes son constantes con ${\displaystyle a\neq 0}$.

La solución de este tipo de ecuación es la combinación lineal de exponenciales cuyo argumento es el producto de la variable independiente con la que tiene dependencia la función, y la constante real, imaginaria o compleja ${\displaystyle r}$ que soluciona el polinomio característico de la ecuación, esto es:

${\displaystyle y(x)=\sum _{i}a_{i}\mathrm {e} ^{rx}}$

De forma explícita aplicado a una ecuación de segundo orden:

${\displaystyle ay^{\prime \prime }+by^{\prime }+cy=0\rightarrow \mathrm {e} ^{rt}(ar^{2}+br+c)=0}$ las soluciones serán ${\displaystyle r_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$, de modo que se anule para todo ${\displaystyle x}$ el término que acompaña la exponencial cumpliéndose la igualdad. De este modo, la solución viene dada por ${\displaystyle y(x)=a\mathrm {e} ^{r_{1}x}+b\mathrm {e} ^{r_{2}x}}$. Las constantes ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ quedan definidas en caso de darse tantas condiciones iniciales o de contorno como el grado de la ecuación, en este caso dos. Por ejemplo, dado que ${\displaystyle y(0)=k}$ y ${\displaystyle y^{\prime }(0)=k^{\prime }}$ las constantes se obtendrían resolviendo el sistema de ecuaciones:

${\displaystyle a{\cancelto {1}{\mathrm {e} ^{r_{1}0}}}+b{\cancelto {1}{\mathrm {e} ^{r_{2}0}}}=k}$

${\displaystyle ar_{1}{\cancelto {1}{\mathrm {e} ^{r_{1}0}}}+br_{2}{\cancelto {1}{\mathrm {e} ^{r_{2}0}}}=k^{\prime }}$

• Método de separación de variables
• Teorema de Picard-Lindelöf

• Wikilibros en inglés alberga un libro o manual sobre Ordinary Differential Equations/Substitution 1.
• Ecuaciones diferenciales homogéneas en MathWorld. (en inglés)