Espacio de Ptak
Un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo es B-completo o un espacio de Ptak, si cada subespacio está cerrado en la topología *débil en (es decir, o ) siempre que esté cerrado en (cuando a se le da la topología subespacial de ) para cada subconjunto equicontinuo .[1]
La completitud de B está relacionada con la completitud de , donde un EVT localmente convexo es -completo si cada subespacio denso está cerrado en siempre que esté cerrado en (cuando tiene dada la topología del subespacio de ) para cada subconjunto equicontinuo .[1]
Caracterizaciones
En esta sección, será un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo.
Las siguientes expresiones son equivalentes:
- es un espacio de Ptak.
- Cada aplicación lineal casi abierta continua de en cualquier espacio localmente convexo es un homomorfismo topológico.[2]
- Una aplicación lineal se llama casi abierta si para cada entorno del origen en , es denso en algún entorno del origen en
Los siguientes enunciados también son equivalentes:
- es completo.
- Cada aplicación lineal continua biunívoca, casi abierta de en cualquier espacio localmente convexo es un isomorfismo de un EVT.[2]
Propiedades
Cada espacio de Ptak es completo. Sin embargo, existen espacios de Hausdorff localmente convexos completos que no son espacios de Ptak.
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Sea una aplicación lineal casi abierta cuyo dominio es denso en un espacio completo y cuyo rango es un espacio localmente convexo . Supóngase que la gráfica de está cerrada en . Si es inyectiva o si es un espacio de Ptak, entonces es una aplicación abierta.[4]
Ejemplos y condiciones suficientes
Existen espacios Br completos que no son B completos.
Cada espacio de Fréchet es un espacio de Ptak. El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio de Ptak.
Cada subespacio vectorial cerrado de un espacio de Ptak (respectivamente, un espacio completo Br) es un espacio de Ptak (respectivamente, un espacio completo ),[1] y cada cociente de Hausdorff de un espacio de Ptak es un espacio de Ptak.[4] Si cada cociente de Hausdorff de un EVT es un espacio Br completo, entonces es un espacio B completo.
Si es un espacio localmente convexo tal que existe una sobreyección casi abierta continua de un espacio de Ptak, entonces es un espacio de Ptak.[3]
Si un EVT tiene un hiperplano cerrado que es B completo (respectivamente, Br completo), entonces es B completo (respectivamente, Br completo).
Véase también
- Espacio barrilado
Referencias
- ↑ a b c Schaefer y Wolff, 1999, p. 162.
- ↑ a b Schaefer y Wolff, 1999, p. 163.
- ↑ a b Schaefer y Wolff, 1999, p. 164.
- ↑ a b Schaefer y Wolff, 1999, p. 165.
Bibliografía
- Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Enlaces externos
- Espacio nuclear en ncatlab
Datos: Q96400395