Espacio de Ptak

Un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo ${\displaystyle X}$ es B-completo o un espacio de Ptak, si cada subespacio ${\displaystyle Q\subseteq X^{\prime }}$ está cerrado en la topología *débil en ${\displaystyle X^{\prime }}$ (es decir, ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ o ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$) siempre que ${\displaystyle Q\cap A}$ esté cerrado en ${\displaystyle A}$ (cuando a ${\displaystyle A}$ se le da la topología subespacial de ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$) para cada subconjunto equicontinuo ${\displaystyle A\subseteq X^{\prime }}$.^[1]​

La completitud de B está relacionada con la completitud de ${\displaystyle B_{r}}$, donde un EVT localmente convexo ${\displaystyle X}$ es ${\displaystyle B_{r}}$-completo si cada subespacio denso ${\displaystyle Q\subseteq X^{\prime }}$ está cerrado en ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ siempre que ${\displaystyle Q\cap A}$ esté cerrado en ${\displaystyle A}$ (cuando ${\displaystyle A}$ tiene dada la topología del subespacio de ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$) para cada subconjunto equicontinuo ${\displaystyle A\subseteq X^{\prime }}$.^[1]​

En esta sección, ${\displaystyle X}$ será un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo.

Las siguientes expresiones son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$ es un espacio de Ptak.
2. Cada aplicación lineal casi abierta continua de ${\displaystyle X}$ en cualquier espacio localmente convexo ${\displaystyle Y}$ es un homomorfismo topológico.^[2]​

• Una aplicación lineal ${\displaystyle u:X\to Y}$ se llama casi abierta si para cada entorno ${\displaystyle U}$ del origen en ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle u(U)}$ es denso en algún entorno del origen en ${\displaystyle u(X).}$

Los siguientes enunciados también son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$ es ${\displaystyle B_{r}}$ completo.
2. Cada aplicación lineal continua biunívoca, casi abierta de ${\displaystyle X}$ en cualquier espacio localmente convexo ${\displaystyle Y}$ es un isomorfismo de un EVT.^[2]​

Cada espacio de Ptak es completo. Sin embargo, existen espacios de Hausdorff localmente convexos completos que no son espacios de Ptak.

Sea ${\displaystyle u}$ una aplicación lineal casi abierta cuyo dominio es denso en un espacio completo ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle X}$ y cuyo rango es un espacio localmente convexo ${\displaystyle Y}$. Supóngase que la gráfica de ${\displaystyle u}$ está cerrada en ${\displaystyle X\times Y}$. Si ${\displaystyle u}$ es inyectiva o si ${\displaystyle X}$ es un espacio de Ptak, entonces ${\displaystyle u}$ es una aplicación abierta.^[4]​

Existen espacios B_r completos que no son B completos.

Cada espacio de Fréchet es un espacio de Ptak. El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio de Ptak.

Cada subespacio vectorial cerrado de un espacio de Ptak (respectivamente, un espacio completo B_r) es un espacio de Ptak (respectivamente, un espacio completo ${\displaystyle B_{r}}$),^[1]​ y cada cociente de Hausdorff de un espacio de Ptak es un espacio de Ptak.^[4]​ Si cada cociente de Hausdorff de un EVT ${\displaystyle X}$ es un espacio B_r completo, entonces ${\displaystyle X}$ es un espacio B completo.

Si ${\displaystyle X}$ es un espacio localmente convexo tal que existe una sobreyección casi abierta continua ${\displaystyle u:P\to X}$ de un espacio de Ptak, entonces ${\displaystyle X}$ es un espacio de Ptak.^[3]​

Si un EVT ${\displaystyle X}$ tiene un hiperplano cerrado que es B completo (respectivamente, B_r completo), entonces ${\displaystyle X}$ es B completo (respectivamente, B_r completo).

• Espacio barrilado

• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 

• Espacio nuclear en ncatlab