Espacio estrictamente convexo
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En matemáticas, un espacio estrictamente convexo es un espacio vectorial normado (X, || ||) para el cual la bola unitaria cerrada es estrictamente convexa. Dicho de otra manera, un espacio estrictamente convexo es aquel para el cual, dados dos puntos distintos x e y en la 1-esfera ∂B (es decir, en la frontera de la bola unitaria B de X), el segmento que une x e y se encuentra con ∂B sólo en x e y. Una tercera manera de describir un espacio estrictamente convexo es diciendo que todos los puntos de su frontera son puntos extremos.[1] La convexidad estricta está en algún lugar entre un espacio prehilbertiano (todos los espacios resultado del producto interno son estrictamente convexos) y un espacio vectorial normado general en términos de estructura. También garantiza la unicidad de una mejor aproximación a un elemento en X (estrictamente convexo) a partir de un subespacio convexo Y, siempre que exista dicha aproximación.
Si el espacio normado X es completo y satisface la propiedad ligeramente más fuerte de ser uniformemente convexo (lo que implica convexidad estricta), entonces también es reflexivo según el teorema de Milman-Pettis.
Propiedades
Las siguientes propiedades son equivalentes a la convexidad estricta.
- Un espacio vectorial normado (X, || ||) es estrictamente convexo si y solo si x ≠ y y || x' ' || = || y || = 1 juntos implican que || x + y' ' || < 2.
- Un espacio vectorial normado (X, || ||) es estrictamente convexo si y solo si x ≠ y y || x || = || y || = 1 juntos implican que || αx + .(1 - α)y || < 1 para todos los 0 < α < 1.
- Un espacio vectorial normado (X, || ||) es estrictamente convexo si y solo si x ≠ 0 e y≠ 0 y || x + y || = || x || + || y || juntos implican que x = cy para alguna constante c > 0.
- Un espacio vectorial normado (X, || ||) es estrictamente convexo si y solo si el módulo de convexidad δ para (X, || ||) satisface que δ(2)=1.
Véase también
- Espacio uniformemente convexo
- Módulo y característica de convexidad
Referencias
- ↑ P.R. Halmos (2012). A Hilbert Space Problem Book. Springer Science & Business Media. pp. 5 de 365. ISBN 9781461599760. Consultado el 18 de diciembre de 2023.
Bibliografía
- Goebel, Kazimierz (1970). «Convexity of balls and fixed-point theorems for mappings with nonexpansive square». Compositio Mathematica 22 (3): 269-274.
Datos: Q916093