Espacio proyectivo complejo

En matemáticas, se le llama espacio proyectivo complejo al espacio de las líneas complejas de Cⁿ⁺¹ que pasan por el origen. Normalmente se nota por P(Cⁿ⁺¹), P_n(C) o CPⁿ

Constituye una variedad compleja compacta de dimensión compleja n definida identificando los puntos proporcionales de Cⁿ⁺¹-{0} mediante la siguiente relación de equivalencia:

${\displaystyle z\sim w\Leftrightarrow z=\lambda w\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\}\qquad z,w\in \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}}$

Sea ${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}\rightarrow \mathbb {C} P^{n}}$ la proyección que lleva cada z en su clase de equivalencia. Dotamos a CPⁿ de la topología cociente, de modo que ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} P^{n}}$es abierto si y sólo si ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ lo es. Esta topología convierte a la proyección en una aplicación continua.

CPⁿ es compacto y conexo

Para ello basta observar que es imagen por una aplicación continua de la esfera real S²ⁿ⁺¹. En concreto por la composición de aplicaciones ${\displaystyle \pi \circ i}$ dada por

${\displaystyle S^{2n+1}\longrightarrow \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}\longrightarrow \mathbb {C} P^{n}}$,

Esta aplicación es sobreyectiva pues toda línea pasa por un punto de S²ⁿ⁺¹.

Podemos construir un atlas mediante las cartas ${\displaystyle (U_{i},\Phi _{i})}$ definidas por:

${\displaystyle U_{i}=\{[z]:z\in \mathbb {C} ^{n+1}-\{0\},z_{i}\neq 0\}\qquad \Phi _{i}([z])=({\frac {z_{0}}{z_{i}}},\cdots ,{\hat {\frac {z_{i}}{z_{i}}}},\cdots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}})}$

donde por ^ debemos entender que no aparece la entrada correspondiente.

Si ${\displaystyle z\in U_{i}\cap U_{j}}$ , se comprueba que el cambio de cartas ${\displaystyle (\Phi _{j}\circ \Phi _{i}^{-1})}$ es holomorfo.

Toda inclusión del tipo C^k+1 → Cⁿ⁺¹ induce una inclusión entre los proyectivos correspondientes CP^k → CPⁿ. A la imagen de esta aplicación se le denomina subespacio lineal de CPⁿ.

Si k = n-1, a la imagen de esta aplicación se le denomina hiperplano de CPⁿ. Si k = 1, de su imagen se dice que es una línea del mismo.

• P. Griffiths y J. Harris. Principles of algebraic geometry. John Wiley & Sons, 1978. ISBN 0-471-32792-1 . (Cap. 2)

• Espacio proyectivo real
• Espacio proyectivo cuaterniónico
• Geometría algebraica