Espacio ultrabarrilado

En análisis funcional y en otras áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio ultrabarrilado es un espacio vectorial topológico (EVT) para el que cada conjunto ultrabarrilado es un entorno del origen.

Un subconjunto ${\displaystyle B_{0}}$ de un EVT ${\displaystyle X}$ se denomina 'ultrabarrilado si es un subconjunto cerrado y equilibrado de ${\displaystyle X}$ y si existe una secuencia ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ de subconjuntos cerrados equilibrados y absorbentes de ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle B_{i+1}+B_{i+1}\subseteq B_{i}}$ para todos los ${\displaystyle i=0,1,\ldots .}$

En este caso, ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ se denomina secuencia definitoria de ${\displaystyle B_{0}.}$ Un EVT ${\displaystyle X}$ se llama ultrabarrilado si cada conjunto ultrabarrilado en ${\displaystyle X}$ es un entorno del origen.^[1]​

Un espacio ultrabarrilado localmente convexo es un espacio barrilado.^[1]​ Cada espacio ultrabarrilado es un espacio cuasi ultrabarrilado.^[1]​

Los EVT completos y metrizables son ultrabarrilados.^[1]​ Si ${\displaystyle X}$ es un EVT completo localmente acotado y no localmente convexo; y si ${\displaystyle B_{0}}$ es una entorno acotado del origen equilibrado y cerrado, entonces ${\displaystyle B_{0}}$ es un conjunto ultrabarrilado que no es convexo y tiene una secuencia definitoria que consta de conjuntos no convexos.^[1]​

Existen espacios barrilados que no tienen conjuntos ultrabarrilados.^[1]​ Existen EVTs que son completos y metrizables (y, por lo tanto, ultrabarrilados), pero no son barrilados.^[1]​

• Espacio barrilado
• Espacio barrilado numerable
• Espacio cuasi barrilado numerable
• Espacio infrabarrilado
• Principio de acotación uniforme

• Bourbaki, Nicolas (1950). «Sur certains espaces vectoriels topologiques». Annales de l'Institut Fourier (en francés) 2: 5-16 (1951). MR 0042609. doi:10.5802/aif.16. 
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665. 
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. pp. 65-75. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.