Fórmula de sumación de Abel

En matemáticas, la fórmula de sumación de Abel, definida por Niels Henrik Abel, es muy utilizada en teoría de números para calcular series.

Sea ${\displaystyle a_{n}\,}$ una sucesión de números reales o complejos y ${\displaystyle \phi (x)\,}$ una función de clase ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}\,}$, entonces la fórmula de sumación de Abel es

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,}$

dónde

${\displaystyle A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\,.}$

de hecho, esto es la integración por partes para una integral de Riemann–Stieltjes.

De forma más general, se tiene

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.}$

Si ${\displaystyle a_{n}=1\,}$ y ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x}}\,,}$ entonces ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor \,}$ y

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u}$

la cual es una manera de representar la constante de Euler–Mascheroni.

Si ${\displaystyle a_{n}=1\,}$ y ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ entonces ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor \,}$ y

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

Esta fórmula es válida para todo ${\displaystyle s}$ con ${\displaystyle \Re (s)>1\,.}$. Esta fórmula puede ser usada para demostrar el teorema de Dirichlet, que dice que ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ tiene un polo simple con residuo 1 en ${\displaystyle s=1}$

Si ${\displaystyle a_{n}=\mu (n)\,}$ es la función de Möbius y ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ entonces ${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)\,}$ es la función de Mertens y

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

Esta fórmula se cumple para ${\displaystyle \Re (s)>1\,.}$

• Sumación por partes

• Apostol, Tom (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag ..