La fracción continua de Rogers–Ramanujan es una fracción continua descubierta por Rogers (1894) y más tarde estudiada por Srinivasa Ramanujan, íntimamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan, que puede ser evaluada explícitamente para determinados valores de su argumento.
Definición
La fracción continua de Ramanujan es
(sucesión A003823 en OEIS)
donde:
(sucesión A003114 en OEIS)
y
(sucesión A003106 en OEIS)
son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan.
Aquí,
denota el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.
Si q = e2πiτ, entonces q−1/60G(q) y q11/60H(q) y también q1/5H(q)/G(q)) son formas modulares de τ. Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente. En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores de τ.
Ejemplos
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\dots }}}}}}=\left({{\sqrt {5+{\sqrt {5}} \over 2}}-{{\sqrt {5}}+1 \over 2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi }\right)=0.9981360\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24ad72017eb976a6f4861883ee48ea03c1f0a01)
donde
es el número áureo (Aproximadamente 1.618)
El inverso multiplicativo de esta expresión es:
El inverso multiplicativo de esta expresión es:
Referencias
- Rogers, L. J. (1894), «Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products», Proc. London Math. Soc., s1-25: 318-343, doi:10.1112/plms/s1-25.1.318 .
- Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan,, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction, J. Comput. Appl. Math. 105 (1999), pp. 9–24.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Rogers-Ramanujan Identities». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «Rogers-Ramanujan Continued Fraction». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Datos: Q7359378