La identidad de Beltrami, que lleva el nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900), es un caso especial de las ecuaciones de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones.
La ecuación de Euler-Lagrange sirve para obtener un valor extremo de un funcional con la forma
donde y son constantes y .[1]
Si , entonces la ecuación de Euler-Lagrange se reduce a la identidad de Beltrami,
Se tiene una expresión para de la ecuación de Euler-Lagrange,
que se puede sustituir en la expresión anterior por para obtener
Según la regla del producto, el lado derecho equivale a
Al realizar la integración en ambos lados y poner ambos términos en un lado, se obtiene la identidad de Beltrami,
Aplicaciones
Solución al problema de la braquistocrona
La solución al problema de la braquistocrona es la cicloide
Un ejemplo de aplicación de la identidad de Beltrami es la curva braquistócrona, que implica encontrar la curva que minimice la integral
El integrando
no depende explícitamente de la variable de integración , por lo que se aplica la identidad de Beltrami,
Sustituyendo por y simplificando,
que se puede resolver con el resultado expresado en forma de ecuación paramétrica
siendo la mitad de la constante anterior, y una variable. Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide.[3]
Solución al problema de la catenaria
Una cadena que cuelga de sus extremos forma una catenaria
Considérese una cuerda con densidad uniforme de longitud suspendida de dos puntos de igual altura y a una distancia . Por la fórmula para la longitud de arco,
donde es el arco de la cadena y y son las condiciones de contorno.
La curva tiene que minimizar su energía potencial:
y está sujeta a la restricción
donde es la fuerza de gravedad.
Debido a que la variable independiente no aparece en el integrando, la identidad de Beltrami se puede usar para expresar la forma de la cadena como una ecuación diferencial de primer ordenseparable
donde es un multiplicador de Lagrange.
Es posible simplificar la ecuación diferencial de la forma siguiente:
Al resolver esta ecuación se obtiene el coseno hiperbólico, donde es una segunda constante obtenida de la integración
Las tres incógnitas , y se pueden resolver utilizando las restricciones para los puntos finales de la cadena y la longitud del arco , aunque a menudo es muy difícil obtener una solución de forma cerrada.
Notas
↑Así, la transformada de Legendre de la lagrangiana, la hamiltoniana, es constante a lo largo del camino dinámico.
Referencias
↑Courant R, Hilbert D (1953). Methods of Mathematical PhysicsI (First English edición). New York: Interscience Publishers, Inc. p. 184. ISBN 978-0471504474.
↑Weisstein, Eric W. "Euler-Lagrange Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. See Eq. (5).
↑This solution of the Brachistochrone problem corresponds to the one in — Mathews, Jon; Walker, RL (1965). Mathematical Methods of Physics. New York: W. A. Benjamin, Inc. pp. 307-9.