Identidad del palo de hockey

En matemática combinatoria se conoce como Identidad del palo de hockey^[1]​ o Identidad del Calcetín de Navidad^[2]​ a la igualdad:

${\displaystyle \sum _{i=r}^{n}\,{\binom {i}{r}}={\binom {n+1}{r+1}}\quad \forall \,\,n,r\in \mathbb {N} \,\,\And \,\,n\geq r}$

o a su imagen equivalente mediante la sustitución ${\displaystyle j\to i-r}$ :

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n-r}\,{\binom {j+r}{r}}={\binom {n+1}{n-r}}}$

la cual representa la suma de ${\displaystyle n}$ o ${\displaystyle n-r+1}$ elementos, en la segunda igualdad, de una diagonal del triángulo de Pascal. El nombre de esta igualdad proviene de su representación gráfica sobre dicho triángulo, ya que cuando se resaltan los sumandos y el total, la forma revelada recuerda vagamente a esos objetos.

Como paso previo a las demostraciones, hay que recordar la llamada Regla de Pascal que relaciona los elementos de una fila del triángulo de Pascal con los de la fila siguiente:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k+1}}+{\binom {n-1}{k}}}$

O a su equivalente:

${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}}$

Sea ${\displaystyle n=r}$

${\displaystyle \sum _{i=r}^{n}{\binom {i}{r}}=\sum _{i=r}^{r}{\binom {i}{r}}=1={\binom {r+1}{r+1}}={\binom {n+1}{r+1}}}$

Supongamos que la identidad se cumple para todo número ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\,k\geq r}$, por lo que es válido expresar que:

${\displaystyle \sum _{i=r}^{k}\,{\binom {i}{r}}={\binom {k+1}{r+1}}}$

Entonces, la igualdad debe cumplirse para el número ${\displaystyle k+1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=r}^{k+1}\,{\binom {i}{r}}&=\sum _{i=r}^{k}{\binom {i}{r}}+{\binom {k+1}{r}}\\&={\binom {k+1}{r+1}}+{\binom {k+1}{r}}\\&={\binom {k+2}{r+1}}\\\end{aligned}}}$

Por lo que queda demostrada la identidad de manera inductiva.

Tomemos la identidad básica y usemos la ecuación equivalente de la Identidad de Pascal de manera directa:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{t=\color {blue}k}^{n}{\binom {t}{k}}&=\sum _{t=k}^{n}\left[{\binom {t+1}{k+1}}-{\binom {t}{k+1}}\right]\\&=\sum _{t=\color {green}k}^{\color {green}n}{\binom {\color {green}{t+1}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}\\&=\sum _{t=\color {green}{k+1}}^{\color {green}{n+1}}{\binom {\color {green}{t}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}&&{\text{Cambio de variables}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}-\underbrace {\binom {k}{k+1}} _{0}&&{\text{Desarrollo de los sumatorios}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}&&{\text{Resultado final}}\end{aligned}}}$

Consideremos la serie geométrica:$${\displaystyle S=1+(1+x)+(1+x)^{2}+(1+x)^{3}+\cdots +(1+x)^{n}}$$

Ya que la razón de esta serie es ${\displaystyle (1+x)}$, la igualdad anterior se transforma en:

${\displaystyle {\begin{aligned}1+(1+x)+(1+x)^{2}+(1+x)^{3}+\cdots +(1+x)^{n}&={\frac {(1+x)^{n+1}-1}{(1+x)-1}}\\&=\sum _{j=1}^{n+1}{\binom {n+1}{j}}x^{j-1}\end{aligned}}}$

Desarrollemos los diferentes binomios a partir de ${\displaystyle (1+x)^{k}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{k}&={\binom {k}{0}}+\cdots +{\binom {k}{k}}x^{k}\\(1+x)^{k+1}&={\binom {k+1}{0}}+\cdots +{\binom {k+1}{k}}x^{k}+{\binom {k+1}{k+1}}x^{k+1}\\(1+x)^{k+2}&={\binom {k+2}{0}}+\cdots +{\binom {k+2}{k}}x^{k}+{\binom {k+2}{k+1}}x^{k+1}+{\binom {k+2}{k+2}}x^{k+2}\\\cdots \\(1+x)^{n}&={\binom {n}{0}}+\cdots +{\binom {n}{k}}x^{k}+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}\end{aligned}}}$

Al sumar todos los coeficientes binomiales del término ${\displaystyle x^{k}}$ y sustituir después ${\displaystyle j\to k+1}$ obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}[rlr]{\binom {k}{k}}+{\binom {k+1}{k}}+{\binom {k+2}{k}}+\cdots +{\binom {n}{k}}&=&{\binom {n+1}{k+1}}\\\sum _{j=0}^{n-k}{\binom {k+j}{k}}&=&{\binom {n+1}{k+1}}\\\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k}}&=&{\binom {n+1}{k+1}}&&{\text{Haciendo cambio de variable}}\end{aligned}}}$

con lo que queda demostrada la identidad.

Imagine que estamos distribuyendo caramelos indistinguibles a niños distinguibles. Mediante una aplicación directa del método de estrellas y barras, existen

${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}}$

formas de distribuirlos. De manera alterna, primero podemos darle ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ caramelos al mayor de los niños, de modo que en esencia, damos ${\displaystyle n-i}$ caramelos a los ${\displaystyle k-1}$ niños restantes.y, nuevamente, mediante doble conteo y el método de las estrellas y barras, nosotros tenemos:

${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n+k-2-i}{k-2}}}$

lo cual se simplifica al resultado deseado, haciendo un cambio de variable, al tomar ${\displaystyle n'=n+k-2}$ y ${\displaystyle r=k-2}$ y observando que ${\displaystyle n'-n=k-2=r}$:

${\displaystyle {\binom {n'+1}{r+1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n'-i}{r}}=\sum _{i=r}^{n'}{\binom {i}{r}}}$

Podemos formar un comité de un tamaño de ${\displaystyle k+1}$ personas a partir de un grupo de ${\displaystyle n+1}$ personas en

${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$

maneras. Ahora entregamos números como ${\displaystyle 1,2,3,\dots ,n-k+1}$ a ${\displaystyle n-k+1}$ de las ${\displaystyle n+1}$ personas. Podemos dividir esto en ${\displaystyle n-k+1}$ casos inconexos. En general, en el caso de un número ${\displaystyle x}$, tal que ${\displaystyle 1\leqslant x\leqslant n-k+1}$, la persona con el número ${\displaystyle x}$ está en el comité y las personas ${\displaystyle 1,2,3,\dots ,x-1}$ no están en dicho comité. Esto se puede hacer de

${\displaystyle {\binom {n-x+1}{k}}}$

maneras. Ahora, podemos sumar los valores de estos ${\displaystyle n-k+1}$ casos diferentes, obteniendo:

${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-2}{k}}+\cdots +{\binom {k+1}{k}}+{\binom {k}{k}}.}$

lo que, nuevamente prueba la identidad.

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