Polinomio de Fekete

En matemáticas, un polinomio de Fekete es un polinomio

${\displaystyle f_{p}(t):=\sum _{a=0}^{p-1}\left({\frac {a}{p}}\right)t^{a}\,}$

donde ${\displaystyle \left({\frac {\cdot }{p}}\right)\,}$ es el símbolo de Legendre para un número entero p > 1.

Estos polinomios fueron conocidos en estudios del siglo XIX sobre las funciones L de Dirichlet, y en realidad por el propio Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Han adquirido el nombre de Michael Fekete, que observó que la ausencia de t ceros reales del polinomio de Fekete con 0 < t < 1 implica una ausencia del mismo tipo para la función L.

${\displaystyle L\left(s,{\dfrac {x}{p}}\right).\,}$

Esto tiene un interés potencial considerable en la teoría de números, en relación con el hipotético cero de Siegel cerca de s = 1. Si bien los resultados numéricos para casos reducidos indicaron que había pocos cero reales, otros análisis revelan que este efecto puede ser un «número reducido».

• Peter Borwein: Computational excursions in analysis and number theory. Springer, 2002, ISBN 0-387-95444-9, Cap.5.

• Brian Conrey, Andrew Granville, Bjorn Poonen y Kannan Soundararajan, Zeros of Fekete polynomials, arXiv e-print math.NT/9906214, June 16, 1999.