Pseudoespectro

En matemáticas, el pseudoespectro de un operador es un conjunto que contiene el espectro del operador y los valores que son "casi" valores propios. Conocer el pseudoespectro resulta particularmente útil para comprender los operadores no normales y sus funciones propias.

El ${\displaystyle \epsilon }$-pseudoespectro de una matriz ${\displaystyle A}$ está constituido por todos los valores propios de las matrices ${\displaystyle \epsilon }$-cercanas a ${\displaystyle A}$:^[1]​

$${\displaystyle \Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.}$$

Los métodos numéricos para el cálculo de los valores propios de una matriz cometen errores debido al redondeo y otros factores. Estos errores pueden describirse mediante la matriz ${\displaystyle E}$.

De forma más general, considerando espacios de Banach ${\displaystyle X,Y}$, se puede definir el ${\displaystyle \epsilon }$-pseudoespectro del operador ${\displaystyle A:X\to Y}$ (denotado por ${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)}$) de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \},}$$

donde, por convenio, se toma ${\displaystyle \|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty }$ si ${\displaystyle A-\lambda I}$ no es invertible.^[2]​

• Lloyd N. Trefethen y Mark Embree: "Spectra And Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices And Operators", Princeton Univ. Press, ISBN 978-0691119465 (2005).
• Pseudospectra Gateway / Embree y Trefethen [1]