Tensor mixto

En un campo tensorial, un tensor mixto es aquel tensor que no es ni estrictamente covariante ni estrictamente contravariante; es decir, al menos uno de sus índices será un subíndice (covariante) y al menos uno de sus índices será un superíndice (contravariante).^[1]​

Un tensor mixto de tipo o valencia ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$, también escrito "tipo (M, N)", con ambos M > 0 y N > 0, es un tensor que tiene M índices contravariantes y N índices covariantes. Un tensor de este tipo puede definirse como una función lineal que asigna una tupla (M + N) de M 1-formas y N vectores a un escalar.

Considérese el siguiente octeto de tensores relacionados:

${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.}$

El primero es covariante, el último es contravariante y los restantes mixtos. Notablemente, estos tensores se diferencian entre sí por la covarianza/contravarianza de sus índices. Un índice contravariante dado de un tensor se puede reducir usando el tensor métrico g_μν, y un índice covariante dado se puede aumentar usando el tensor métrico inverso g^μν. Por lo tanto, g_μν podría denominarse "operador de reducción del índice" y g^μν "operador de elevación del índice".

Generalmente, el tensor métrico covariante, contraído con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M − 1, N + 1), mientras que su inversa contravariante, contraída con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M + 1, N − 1).

Como ejemplo, se puede obtener un tensor mixto de tipo (1, 2) elevando un índice de un tensor covariante de tipo (0, 3),

${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },}$

donde ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }}$ es el mismo tensor que ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}$, porque

${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },}$

Kronecker δ actúa aquí como una matriz de identidad.

Asimismo,

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}$

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },}$

${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}$

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.}$

Elevar un índice del tensor métrico equivale a contraerlo con su inverso, obteniendo la delta de Kronecker,

${\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu },}$

por lo que cualquier versión mixta del tensor métrico será igual a la delta de Kronecker, que también será mixta.^[2]​

• Covarianza y contravarianza
• Convenio de suma de Einstein
• Cálculo de Ricci
• Tensor (definición intrínseca)
• Tensor de dos puntos

• D.C. Kay (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-033484-6. 
• Wheeler, J.A.; Misner, C.; Thorne, K.S. (1973). «§3.5 Working with Tensors». Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 85-86. ISBN 0-7167-0344-0. 
• R. Penrose (2007). El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4. 

• Índice de gimnasia, Wolfram Alpha