Tensor mixto
En un campo tensorial, un tensor mixto es aquel tensor que no es ni estrictamente covariante ni estrictamente contravariante; es decir, al menos uno de sus índices será un subíndice (covariante) y al menos uno de sus índices será un superíndice (contravariante).[1]
Un tensor mixto de tipo o valencia , también escrito "tipo (M, N)", con ambos M > 0 y N > 0, es un tensor que tiene M índices contravariantes y N índices covariantes. Un tensor de este tipo puede definirse como una función lineal que asigna una tupla (M + N) de M 1-formas y N vectores a un escalar.
Cambio del tipo de tensor
Considérese el siguiente octeto de tensores relacionados:
El primero es covariante, el último es contravariante y los restantes mixtos. Notablemente, estos tensores se diferencian entre sí por la covarianza/contravarianza de sus índices. Un índice contravariante dado de un tensor se puede reducir usando el tensor métrico gμν, y un índice covariante dado se puede aumentar usando el tensor métrico inverso gμν. Por lo tanto, gμν podría denominarse "operador de reducción del índice" y gμν "operador de elevación del índice".
Generalmente, el tensor métrico covariante, contraído con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M − 1, N + 1), mientras que su inversa contravariante, contraída con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M + 1, N − 1).
Ejemplos
Como ejemplo, se puede obtener un tensor mixto de tipo (1, 2) elevando un índice de un tensor covariante de tipo (0, 3),
donde es el mismo tensor que , porque
Kronecker δ actúa aquí como una matriz de identidad.
Asimismo,
Elevar un índice del tensor métrico equivale a contraerlo con su inverso, obteniendo la delta de Kronecker,
por lo que cualquier versión mixta del tensor métrico será igual a la delta de Kronecker, que también será mixta.[2]
Véase también
- Covarianza y contravarianza
- Convenio de suma de Einstein
- Cálculo de Ricci
- Tensor (definición intrínseca)
- Tensor de dos puntos
Referencias
- ↑ John R. Fanchi (2006). Math Refresher for Scientists and Engineers. John Wiley & Sons. pp. 213 de 360. ISBN 9780471791546. Consultado el 22 de junio de 2024.
- ↑ James D. Walker (2021). Modern Impact and Penetration Mechanics. Cambridge University Press. pp. 640 de 694. ISBN 9781108497107. Consultado el 22 de junio de 2024.
Bibliografía
- D.C. Kay (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-033484-6.
- Wheeler, J.A.; Misner, C.; Thorne, K.S. (1973). «§3.5 Working with Tensors». Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 85-86. ISBN 0-7167-0344-0.
- R. Penrose (2007). El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
Enlaces externos
- Índice de gimnasia, Wolfram Alpha
Datos: Q6884018