Teorema de F. Riesz
El teorema de F. Riesz (llamado así por el matemático húngaro Frigyes Riesz (1880-1956)) es una proposición importante en análisis funcional, que establece que un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto. El teorema y sus consecuencias se utilizan de forma ubicua en el análisis funcional, a menudo sin mencionarlo explícitamente.
Enunciado
En primer lugar, debe recordarse que un espacio vectorial topológico (EVT) es de Hausdorff si y solo si el conjunto unitario que consta exclusivamente del origen es un subconjunto cerrado de . Una aplicación entre dos EVT se denomina isomorfismo EVT o isomorfismo en la categoría de EVT si es un homeomorfismo lineal.
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Consecuencias
En todo momento, son EVTs (no necesariamente de Hausdorff), siendo un espacio vectorial de dimensión finita.
- Cada subespacio vectorial de dimensión finita de un EVT de Hausdorff es un subespacio cerrado.[1]
- Todos los EVTs de Hausdorff de dimensión finita son espacios de Banach y todas las normas en dicho espacio son equivalentes.[1]
- Cerrado + de dimensión finita está cerrado: Si es un subespacio vectorial cerrado de un EVT y si es un subespacio vectorial de dimensión finita de (, y no son necesariamente de Hausdorff), entonces es un subespacio vectorial cerrado de .[1]
- Cada isomorfismo del espacio vectorial (es decir, una función biyectiva lineal) entre dos EVTs de Hausdorff de dimensión finita es un isomorfismo entre EVTs.[1]
- Singularidad de la topología: Si es un espacio vectorial de dimensión finita y si y son dos topologías sobre EVT de Hausdorff en , entonces .[1]
- Dominio de dimensión finita: Una aplicación lineal entre EVT de Hausdorff es necesariamente continua.[1]
- En particular, cada funcional lineal de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es continuo.
- Rango de dimensión finita: Cualquier aplicación lineal sobreyectiva continuo con un rango de dimensión finita de Hausdorff es una aplicación abierta[1] y, por lo tanto, un homomorfismo topológico.
En particular, el rango de es EVT-isomorfo a
- Un EVT (no necesariamente de Hausdorff) es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita.
- La envolvente convexa de un espacio compacto de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es compacta.[1]
- Esto implica, en particular, que el recubrimiento convexo de un conjunto compacto es igual al recubrimiento convexo cerrado de ese conjunto.
- Un EVT de Hausdorff localmente acotado con la propiedad de Heine-Borel es necesariamente de dimensión finita.[2]
Véase también
Referencias
- ↑ a b c d e f g h i Narici y Beckenstein, 2011, pp. 101-105.
- ↑ a b Rudin, 1991, pp. 7-18.
Bibliografía
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Datos: Q97279461