Teorema de Rivlin-Ericksen

El teorema de Rivlin-Ericksen (1955) se debe fundamentalmente a Ronald Rivlin y establece una limitación importante a la ecuación constitutiva de un sólido deformable isótropo y objetivo.

El teorema afirma que si ${\displaystyle \mathbf {C} }$ es el tensor de respuesta que relaciona el tensor gradiente de deformación F con el tensor tensión T de un material objetivo e isótropo, cuyo tensor gradiente de deformación es F entonces su tensor tensión viene dado por:

${\displaystyle T=\mathbf {C} (F)={\bar {\mathbf {C} }}(FF^{T})}$

Donde:

${\displaystyle {\bar {\mathbf {C} }}:\mathbf {S_{>3}\subset {M_{3}}} \to \mathbf {S_{3}} \subset {\mathbf {M_{3}} }}$

${\displaystyle {\bar {\mathbf {C} }}(E)=\beta _{0}(\iota _{E})I+\beta _{1}(\iota _{E})E+\beta _{2}(\iota _{E})E^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {M_{3}} }$, conjunto de matrices de 3×3.
${\displaystyle \mathbf {S_{3}} }$, conjunto de matrices 3×3 simétricas.
${\displaystyle \mathbf {S_{>3}} }$, conjunto de matrices 3×3 simétricas definidas positivas.
${\displaystyle \iota _{E}}$, conjunto de invariantes algebraicos (traza, invariante cuadrático y determinante), de la matriz E.

Teniendo en cuenta que la relación entre el tensor gradiente de deformación F, el tensor de Finger B = FF^T y el tensor deformación espacial (de Almansi) D_e es simplemente:

${\displaystyle B=FF^{T}=(I-2D_{e})^{-1}\,}$

Donde I es la matriz identidad, puede verse cual es la forma más general posible de tensor respuesta o ecuación constitutiva de un material isótropo:

${\displaystyle T=\beta _{0}(\iota _{B})I+\beta _{1}(\iota _{B})(I-2D_{e})^{-1}+\beta _{2}(\iota _{B})(I-2D_{e})^{-2}\,}$

Para el caso de sólidos elásticos lineales se puede demostrar rigurosamente a partir del teorema de Rivlin-Ericksen que el tensor tensión T y el tensor deformación D están relacionados por:

${\displaystyle T=\mathbf {C} (I+2D)=\lambda \mathrm {tr} (D)I+2\mu D}$

Donde λ y μ reciben los nombres de primer y segundo coeficientes de Lamé, y son constantes elásticas específicas de cada material. Es decir, un sólido elástico lineal tiene:

${\displaystyle \beta _{0}(\iota _{D})=\lambda \mathrm {tr} (D)-\mu ;\qquad \beta _{1}(\iota _{D})=\mu ;\qquad \beta _{2}(\iota _{E})=0\,}$

Esta ley constitutiva es funcionalmente idéntica a la de un material de Saint-Venant–Kirchhoff.

• Contribuciones de Rivlin a la mecánica de la fractura

• Dietrich Braess, Finite Elements: Theory, fast solvers and aplications in solid mechanics, Cambridge University Press, 1997, pp. 254-255.
• Tomas Carlsson, Frank M. Leslie: The development of theory for flow and dynamic effects for nematic liquid crystals, Liquid Crystals, V 26, N 9 / September 1, 1999, pp. 1267 - 1280, URL: http://taylorandfrancis.metapress.com/link.asp?id=ekncnam7bkr24tb9 (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).