Teorema de la inversa acotada
En matemáticas, el teorema inverso acotado (también llamado teorema de aplicación inversa o teorema del isomorfismo de Banach) es un resultado de la teoría de operadores lineales acotados sobre espacios de Banach. Afirma que un operador lineal acotado bijective T de un espacio de Banach a otro tiene una aplicación inversa acotada T−1. Es equivalente tanto para el teorema de la aplicación abierta como para el teorema de la aplicación cerrada.
Generalización
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Contraejemplo
Este teorema puede no ser válido para espacios normados que no están completos. Por ejemplo, considere el espacio X de sucesiones x : N → R con solo un número finito distinto de cero términos equipados con la norma del supremo. La aplicación T : X → X definido por
es acotado, lineal e invertible, pero T−1 es ilimitado. Esto no contradice el teorema de la inversa acotada, ya que X no es completo y, por tanto, no es un espacio de Banach. Para ver que no es completo, considérese la secuencia de secuencias x(n) ∈ X dada por
converge como n → ∞ a la secuencia x(∞) dada por
que tiene todos sus términos distintos de cero y, por lo tanto, no se encuentra en X.
La completación de X es el espacio de todas las secuencias que convergen a cero, que es un subespacio (cerrado) de un espacio ℓp ℓ∞(N), que es el espacio de todas las secuencias acotadas. Sin embargo, en este caso, la aplicación T no es sobre, y por tanto, no es una biyección. Para ver esto, basta con observar que la secuencia
- ,
es un elemento de , pero no está en el rango de .
Véase también
- Aplicación lineal casi abierta
- Grafo cerrado
- Teorema del grafo cerrado
- Teorema de la función abierta
- Sobreyección de espacios de Fréchet
- Espacio reticulado
Referencias
- ↑ Narici y Beckenstein, 2011, p. 469.
Bibliografía
- Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I (Garling, D.J.H., trad.). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 159. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second edición). New York: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0. «(Sección 8.2)».
- Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
Datos: Q4949984