Teorema de la inversa acotada

En matemáticas, el teorema inverso acotado (también llamado teorema de aplicación inversa o teorema del isomorfismo de Banach) es un resultado de la teoría de operadores lineales acotados sobre espacios de Banach. Afirma que un operador lineal acotado bijective T de un espacio de Banach a otro tiene una aplicación inversa acotada T⁻¹. Es equivalente tanto para el teorema de la aplicación abierta como para el teorema de la aplicación cerrada.

Este teorema puede no ser válido para espacios normados que no están completos. Por ejemplo, considere el espacio X de sucesiones x : N → R con solo un número finito distinto de cero términos equipados con la norma del supremo. La aplicación T : X → X definido por

${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$

es acotado, lineal e invertible, pero T⁻¹ es ilimitado. Esto no contradice el teorema de la inversa acotada, ya que X no es completo y, por tanto, no es un espacio de Banach. Para ver que no es completo, considérese la secuencia de secuencias x⁽ⁿ⁾ ∈ X dada por

${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$

converge como n → ∞ a la secuencia x^(∞) dada por

${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$

que tiene todos sus términos distintos de cero y, por lo tanto, no se encuentra en X.

La completación de X es el espacio ${\displaystyle c_{0}}$ de todas las secuencias que convergen a cero, que es un subespacio (cerrado) de un espacio ℓ_p ℓ_∞(N), que es el espacio de todas las secuencias acotadas. Sin embargo, en este caso, la aplicación T no es sobre, y por tanto, no es una biyección. Para ver esto, basta con observar que la secuencia

${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right)}$,

es un elemento de ${\displaystyle c_{0}}$, pero no está en el rango de ${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$.

• Aplicación lineal casi abierta
• Grafo cerrado
• Teorema del grafo cerrado
• Teorema de la función abierta
• Sobreyección de espacios de Fréchet
• Espacio reticulado

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• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second edición). New York: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0. «(Sección 8.2)». 
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