Teorema del collage

En matemáticas, el teorema del collage^[1]​ caracteriza a un sistema iterativo de funciones cuyo atractor es cercano, según la distancia de Hausdorff, a un conjunto dado. El sistema iterativo de funciones descrito está compuesto por contracciones cuyas imágenes, como un collage o una unión al representar el conjunto dado, están arbitrariamente cerca del conjunto dado. Normalmente se utiliza en compresión fractal.

Sea ${\displaystyle \mathbb {X} }$ un espacio métrico completo. Supóngase que ${\displaystyle L}$ es un subconjunto compacto y no vacío de ${\displaystyle \mathbb {X} }$ y sea ${\displaystyle \epsilon >0}$ un valor dado. Elíjase un sistema iterativo de funciones (SIF) ${\displaystyle \{\mathbb {X} ;w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}}$ con factor de contractividad ${\displaystyle 0\leq s<1}$. El factor de contractividad del SIF es el máximo de los factores de contractividad de las aplicaciones ${\displaystyle w_{i}}$. Supóngase ahora que

${\displaystyle h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\leq \varepsilon ,}$

donde ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$ es la métrica de Hausdorff. Entonces

${\displaystyle h(L,A)\leq {\frac {\varepsilon }{1-s}}}$

donde A es el atractor del SIF. Equivalentemente,

${\displaystyle h(L,A)\leq (1-s)^{-1}h\left(L,\cup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\quad }$, para todos los subconjuntos compactos L no vacíos de ${\displaystyle \mathbb {X} }$.

De manera informal, si ${\displaystyle L}$ está cerca de ser estabilizado por el SIF, entonces ${\displaystyle L}$ también está cerca de ser el atractor del SIF.^[1]​

• Michael Barnsley
• Helecho de Barnsley

• Barnsley, Michael. (1988). Fractals Everywhere. Academic Press, Inc. ISBN 0-12-079062-9. (requiere registro). 

• Una descripción del teorema del collage y el subprograma interactivo de Java en Alexander Bogomolny.
• Notas sobre el diseño de SIF para aproximar imágenes reales.
• Documento expositivo sobre fractales y teorema del collage