Bézouten identitateak (edo Bézouten lemak) zera dio: zeroren ezberdinak diren
eta
bi zenbaki oso elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira x eta y bi zenbaki oso non 1=
den.
Era berean,
izanik. Bezouten identitateagatik ondokoa ondorioztatu daiteke.:
- Alde batetik, baldin eta
bada, orduan
dela .
- Bestalde,
dela ziurtatzen du.
Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion[1]. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.
Soluzioen egitura
Bézouten identitateko (
,
) zenbakiak (
,
)-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta
haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:
eta ![{\displaystyle |y|\leq \left|{\frac {a}{d}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e39d5470b0ba4e7c0b2c690586aba4c33a66cb)
eta
bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.
Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,
.
Hortaz, (
,
) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako (
,
) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.
.
Adibidea
Izan bitez
eta
bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez
Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den
kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:
Hortaz,
da. Hondarrak atzera ordezkatuz, (
,
) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:
Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak:
eta
.
Egiazta daiteke Bézouten identitatea (
) betetzen dela:
.
Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak.
baliorako, adibidez, honako beste (
,
) koefiziente-parea lortuko dugu:
.
Egiazta daiteke Bézouten identitatea (
) betetzen dela:
.
Erreferentziak
- ↑ (Frantsesez) Bézout, Étienne. (1779). Théorie générale des équations algébrique. De l'imprimerie de Ph. D. Pierres (Noiz kontsultatua: 2017-12-22).
Kanpo estekak
- EHU TB - Alderantzizkoen kalkulua Z/nZ moduko eraztunetan
- (Ingelesez) Online calculator of Bézout's identity.
- Wolfram MathWorld, Bézout's identity