Inplikazio

Inplikazioa (latinezko implicare) baieztapen bat da, inplizituki beste bat duena. Etimologiari dagokionez, bere esanahia 'ezkutu' hitzetik dator; izan ere, inplizituki duen baieztapena ez da ikusgarria nahiz eta bere barnean egon, horregatik ez dago bigarren enuntziatua komunikatzeko beharrik. Inplikazioaren kontrako terminoa azalpena (latinezko explicare) da, ezkutuan dagoen zerbait ikusgarri eta ulergarria bihurtzea esan nahi duena.

Logikan, inplikazioa inplikazio logikoa edo inplikazio materiala izenekin ere ezagutzen da eta hurrengo eran adierazten da:

${\displaystyle A\Rightarrow B}$

B A-ren ondorio logiko bat da eta "A-k B inplikatzen du" irakurtzen da.

A eta B bi enuntziatu izanik, bakoitza egia edo gezurra izateko aukera dago eta horren arabera inplikazioa beteko da ala ez. Aukera posible guztiak modu sinple batean aztertzeko egiazkotasun taulak erabili ohi dira:

Egiazkotasun taula

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\Rightarrow B}$
${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$
${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Gezurra}$
${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$
${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Egia}$

Argi ikusten denez gezurrak edozer inplikatzen du; beraz, modu bakarra dago inplikazio bat gezurra izateko: A enuntziatua egia izatea eta B, ordea, gezurra.

Ikusi dugunez, ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ egia izateko, A egia bada B derrigorrez egia izan behar du. Horregatik, A gertatzea nahikoa da B ere gertatzeko; beraz, A B-ren baldintza nahikoa da. Bestalde, B ez bada gertatzen A ez da gertatuko; hortaz, B A-rentzako baldintza beharrezkoa da. Hala ere, inplikazio egia izan daiteke nahiz eta A gezurra izan eta B egia, ondorioz B ez da A-rentzako baldintza nahikoa izango. Gainera, B-k gertatzea ez du ziurtatzen A gertatuko denik; beraz, A ez da B-ren baldintza beharrezkoa.

Baliteke ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ eta ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ aldi berean betetzea; hau da, A B-rentzako baldintza beharrezkoa eta nahikoa izatea. Kasu horietan, A eta B enuntziatuak baliokideak direla esaten da eta bi aukera bakarrik daude: bi enuntziatuak egia izatea edo biak gezurra. Baliokidetasuna horrela adierazten da:

${\displaystyle (A\Leftrightarrow B)\Longleftrightarrow ((A\Rightarrow B)\land (B\Rightarrow A))}$

Hau da, A-k B inplikatu behar du, baina, gainera, kontrako inplikazioa ere egia izan behar du (B-k A inplikatzea).

Egiazkotasun taula

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\Rightarrow B}$	${\displaystyle B\Rightarrow A}$	${\displaystyle (A\Rightarrow B)\land (B\Rightarrow A)}$	${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$
${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$
${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Gezurra}$
${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Gezurra}$
${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Gezurra}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$	${\displaystyle Egia}$

Inplikazio bat gezurtatzeko, enuntziatu horren kontraadibide bat aurkitu behar da; hau da, ${\displaystyle A(x)\land \rceil B(x)}$ betetzen duen elementua. Ordea, inplikazio bat baieztatu nahi dugunean, orokorki frogatu behar dugu. Frogapena aurrera eramateko ez dago bide zehatzik, baina hainbat metodo existitzen dira prozesuan erabilgarriak izaten direnak.

Gure helburua ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ inplikazioa egia dela frogatzea da. Metodo hau erabilita, nahi adina enuntziatu tartekatzean datza.

Enuntziatu bat gehituz: ${\displaystyle A\Rightarrow C}$ eta ${\displaystyle C\Rightarrow B}$ bada, orduan ${\displaystyle {\displaystyle A\Rightarrow B}}$ da.

Esan bezala, nahi bezain luzeak diren kateak osa ditzakegu: ${\displaystyle A\Rightarrow C1\Rightarrow ...\Rightarrow \ Cn\Rightarrow B}$

Esate baterako, ${\displaystyle \forall x\in R,0\leq x\leq 2\Longrightarrow -x^{3}+4x+1=0}$ inplikazio hau frogatuko dugu.

Hortaz, adibidean, R(x) = ${\displaystyle -x^{3}+4x=0}$ izango litzateke. Behin P ${\displaystyle \Longrightarrow }$ R frogatuta, Q = ${\displaystyle -x^{3}+4x+1=0}$ frogatu beharko litzateke, besterik ez. Orduan, P ${\displaystyle \Longrightarrow }$ R eta R ${\displaystyle \Longrightarrow }$ Q moduan frogatzea errazagoa da.

Gure helburua ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ inplikazioa egia dela frogatzea da. Metodo honetan oinarrituz, A-k B inplikatzen duen kontrajarriaren ukapena frogatu behar da: ${\displaystyle \urcorner B\land \urcorner A}$.

Adibidez, ${\displaystyle \exists }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle non}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle bikoitia}$ ${\displaystyle \Longrightarrow }$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle bikoitia}$ ${\displaystyle den}$ izanik,

Kontrajarria ateratzeko:

P = ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle bikoitia}$	${\displaystyle \rceil }$P = ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ez}$ ${\displaystyle bikoitia}$ = ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle bakoitia}$
Q = ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle bikoitia}$	${\displaystyle \rceil }$Q = ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle ez}$ ${\displaystyle bikoitia}$ = ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle bakoitia}$

Hori dela eta, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle bikoitia}$${\displaystyle \Longrightarrow }$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle bikoitia}$ frogatu beharrean, ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle bakoitia}$ ${\displaystyle \Longrightarrow }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle bakoitia}$ dela frogatuko genuke.

Metodo hau absurdura eramanez izenarekin ere ezagutzen da eta dioenez, ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ inplikazioa egia dela frogatzeko ${\displaystyle A\land \rceil B}$ enuntziatutik abiatu behar gara kontraesan batera heldu arte. Kontraesana absurdua izango denez, ezinezkoa izango da ${\displaystyle A\land \rceil B}$ egia izatea; beraz, hasierako inplikazio egia izan beharko du.

Aurreko metodoetan arrazonamendu deduktiboa erabiltzen da; hau da, enuntziatu bat egia dela suposatuz beste bat egia dela frogatzea. Honetan, aldiz, arrazonamendu induktiboa erabiltzen da; alegia, zerbait behin eta berriz gertatzen ada, beti egia dela ondorioztatzea. Bi printzipio induktibo ezberdintzen dira:

Zenbaki arrunten (Peanoren axiomak^[1] jarraituz osatutako multzoa) enuntziatuak zenbaki arrunt guztietarako betetzen direla frogatzeko balio du.

Demagun P(n) enuntziatua egia dela n${\displaystyle \geq }$n_o guztietarako, ondoko baldintzan betetzen badira:

1. P(n_o) egia dela
2. P(k) egia bada, P(k+1) ere egia dela k${\displaystyle \geq }$n_o guztietarako

Batzuetan indukzio matematikoaren printzipioaren bigarren pausua frogatzea ezinezkoa izan daiteke. Kasu horietan, horren ordez indukzio sendoaren printzioa aplikatzen da.

Demagun P(n) enuntziatua egia dela n_o${\displaystyle \geq }$n guztietarako, baldin eta:

1. P(n_o) egia bada
2. P(k) egia bada k${\displaystyle \geq }$n_o guztietarako, P(k+1) ere egia bada k${\displaystyle \geq }$n_o guztietarako

• Enuntziatu
• Beharrezkotasuna eta nahikotasuna
• Arrazoibide deduktibo
• Arrazoibide induktibo

• https://egela.ehu.eus/pluginfile.php/4756597/mod_resource/content/7/1.gaia_teoria.pdf

• Datuak: Q21573131