Bézout’n lemma

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Bézout’n lemma (myös Bézout’n identiteetti, Bézout’n yhtälö) on ranskalaisen matemaatikon Étienne Bézout’n (1730–1783) mukaan nimetty lukuteorian lause, jonka mukaan kokonaislukujen ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ suurin yhteinen tekijä (syt) voidaan esittää muodossa ${\displaystyle ax+by}$, missä ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ ovat kokonaislukuja. Luvut ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ (joita kutsutaan myös Bézout’n luvuiksi) voidaan selvittää esimerkiksi Eukleideen algoritmilla.

Lasketaan lukujen 33 ja 21 suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla:

${\displaystyle {\begin{aligned}33&=21\cdot 1+12\\21&=12\cdot 1+9\\12&=9\cdot 1+3\\9&=3\cdot 3+0\\\end{aligned}}}$

Kolme on suurin yhteinen tekijä, koska se oli jakajana viimeisessä jakolaskussa. Kun suurin yhteinen tekijä halutaan esittää Bézout’n identiteetin mukaisessa muodossa ${\displaystyle 3=33x+21y}$, lähdetään sijoittamalle Eukleideen algoritmin tuloksesta (yhtälöt alhaalta ylöspäin)

${\displaystyle 3=12-9=12-(21-12)=2\cdot 12-21=2\cdot (33-21)-21=2\cdot 33-3\cdot 21}$.

Eli ${\displaystyle \mathrm {syt} (33,21)=3=33\cdot 2+21\cdot (-3).}$ On huomionarvoista, että esitys ei ole uniikki; jos luvut ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ ovat Bézout’n lukuja, myös luvut:

${\displaystyle \left\{\left(x+{\frac {kb}{\mathrm {syt} (a,b)}},\ y-{\frac {ka}{\mathrm {syt} (a,b)}}\right)\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$

ovat Bézout’n lukuja.

• Diofantoksen yhtälö