Kuvaajaan on kuvattu sinisellä erään Cauchyn jonon pisteitä . Pisteet lähentyvät yhä pienemmälle etäisyydelle toisistaan :n kasvaessa.
Cauchyn jono eli Cauchy-jono on jono, jonka jäsenet kasautuvat mielivaltaisen lähelle toisiaan jonon edetessä eli joka toteuttaa ehdon:
jokaista positiivista lukua kohti voidaan valita sellainen positiivinen kokonaisluku n, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla p.[1]
Tätä kutsutaan Cauchyn suppenemisehdoksi ranskalaisen matemaatikon Augustin-Louis Cauchyn (1789−1857) mukaan, joka totesi, että reaalilukujen jono suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa ehdon.
Cauchyn jonot voidaan vastaavalla tavalla määritellä missä tahansa metrisessä avaruudessa, mutta tällöin ne eivät välttämättä suppene. Metristä avaruutta sanotaan täydelliseksi, jos siinä kaikki Cauchyn jonot suppenevat eli niillä on raja-arvo. Näin on laita esimerkiksi reaalilukujen joukossa. Sitä vastoin rationaalilukujen joukko ei ole metrisenä avaruutena täydellinen, sillä rationaaliluvuista voidaan muodostaa Cauchyn jonoja, joilla ei ole raja-arvoa rationaalilukujen joukossa. Sellainen on esimerkiksi lukujen jono, , jonka raja-arvo reaalilukujen joukossa on Neperin luku e.
missä on avaruuden annettu metriikka (alkioiden etäisyys).
Rationaaliluvuista koostuvien Cauchyn jonojen ekvivalenssiluokkiin perustuvan reaalilukujen määritelmän esittivät vuonna 1872 ranskalainen Charles Méray (1835−1911) ja saksalainen Karl Weierstrass (1815−1897) oppilaineen.
Cauchyn yleisen suppenemisehdon todistus
Oletetaan ensin lukujonon suppenevan.
Olkoon ja olkoon . Koska suppenee, niin on olemassa siten, että , kun . Kolmioepäyhtälön nojalla
kun ja .
Oletetaan sitten kaikilla olevan olemassa siten, että lukujonolla pätee , kun ja .
Tällöin on olemassa siten, että , kun . Kolmioepäyhtälön nojalla
kun . Koska joukko on äärellinen, niin sillä on olemassa maksimi . Täten
Olkoon ja olkoon . On olemassa siten, että , kun , koska suppenee. Oletuksen nojalla on olemassa siten, että , kun ja . Valitaan , jolloin . Tällöin kolmioepäyhtälön nojalla
kun . Täten , joten suppenee.
Siis osoitettiin lukujonon suppenevan, jos ja vain jos kaikilla on olemassa siten, että , kun ja .
Lähteet
↑Cauchy's Criterion for Convergence (html) math.berkeley.edu. (englanniksi)