Clebsch–Gordan-kertoimet

Clebsch–Gordan-kertoimet, eli CG-kertoimet on taulukoitu kokoelma numeroita, joita käytetään kvanttimekaniikassa pyörimismäärän kytkennöissä. Niitä tarvitaan toimittaessa luomis- ja hävitysoperaattoreiden kanssa. ^[1] Termi Clebsch–Gordan-kertoimet on saanut nimensä saksalaisilta matemaatikoilta Alfred Clebschilta ja Paul Gordanilta.

Clebsch–Gordan-kerroin ${\displaystyle \scriptstyle c}$ voidaan esittää kytkemättömän ja kytketyn kantojen avulla seuraavasti: ^[2]

${\displaystyle c_{j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}}^{j,m}=<j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}|j_{1},j_{2},j,m>}$,

missä siis ${\displaystyle \scriptstyle j_{1}}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle j_{2}}$ ovat pyörimismäärät kytkemättömässä kannassa, ${\displaystyle \scriptstyle j}$ pyörimismäärä kytketyssä kannassa ja ${\displaystyle \scriptstyle m=m_{1}+m_{2}}$. Jos on tiedossa yllä olevan yhtälön oikea puoli, eli tiedetään arvot termeille ${\displaystyle \scriptstyle j_{1}}$, ${\displaystyle \scriptstyle j_{2}}$ jne, niin Clebsch–Gordan-kerroin voidaan etsiä taulukosta ^[3].

Clebsch–Gordan-kertoimien avulla voidaan siis esittää kytketty tila kytkemättömän tilan avulla

${\displaystyle |j_{1},j_{2},j,m>=|j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}><j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}|j_{1},j_{2},j,m>\,\!}$

${\displaystyle |j_{1},j_{2},j,m>=\sum _{m_{1},m_{2}}c_{j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}}^{j,m}|j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}>\,\!}$.