Epämääräinen muoto on matemaattinen merkintä, jolle ei voida määrittää lukuarvoa. Voidaan myös sanoa, että "lauseke ei ole määritelty".
Esimerkiksi jakolaskun 0/0 tulos ei ole määritelty, koska jakolaskun määritelmän mukaan se voisi olla mikä luku tahansa - onhan mikä tahansa luku nollalla kerrottuna nolla. Nollalla jakaminen on myös intuitiivisesti outo tapahtuma. Potenssilaskennassa merkintä
ei ole määritelty, sillä eri tavoilla laskemalla siitä voidaan saada joko 1 tai 0. Matematiikassa jokaiselle lausekkeelle tulee voida osoittaa tulokseksi vain yksi lukuarvo.
Epämääräisiä muotoja ovat seuraavat seitsemän:[1]
![{\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ ja }}\infty ^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049ca972314874dc41ddd1a8b5d7747dd3d718a1)
Eräissä ohjelmointikielissä epämääräisiä muotoja vastaa "arvo" NaN.
Epämääräiset muodot ja raja-arvot
Epämääräiset muodot liittyvät läheisesti funktioiden ja lukujonojen raja-arvojen määrittämiseen. Jos tunnetaan kahden funktion tai lukujonon raja-arvot, useimmissa tapauksissa niistä voidaan päätellä myös niistä jollakin laskutoimituksella yhdistämällä saadun lausekkeen raja-arvo. Esimerkiksi jos
ja
,
on
ja
,
olivatpa f ja g mitkä tahansa funktiot, joilla on nämä raja-arvot.
Jos raja-arvoksi tällä tavoin saatava lauseke kuitenkin on jokin epämääräinen muoto, ei lausekkeen raja-arvoa voida suoraan päätellä alkuperäisten funktioiden tai lukujonojen raja-arvoista. Näin käy esimerkiksi seuraavassa tapauksessa:
Esimerkkejä funktioista
Tarkastellaan seuraavia raja-arvoja:
et
.
- Kaikilla reaaliluvilla
on
. Niinpä
. - Kaikilla reaaliluvilla
, on
. Niinpä
.
Tässä esimerkissä molemmilla lausekkeilla,
ja
, on sama raja-arvo
, kun
, mutta niiden osamäärillä on eri raja-arvot. Jos taas määritellään
ja
, missä A on mielivaltainen positiivinen vakio, on kummankin funktion raja-arvo
, kun
, mutta osamäärien raja-arvot ovat
ja
,
olipa A mikä positiivinen luku tahansa.
Nämä esimerkit osoittavat, ettei kahden funktion suhteen raja-arvoa voida määrittää pelkästään sen tiedon perusteella, että molempien funktioiden raja-arvo on
. Tämän vuoksi lauseketta
sanotaan epämääräiseksi muodoksi.
Esimerkki lukujonoista
Olkoot
ja
kaksi lukujonoa, jotka on määritelty kaikille luonnollisille luville
siten, että
ja
. Täten on siis
ja
.
Ensinnäkin kaikilla luonnollisilla luvuilla
on
. Koska
ja
, saadaan raja-arvojen tuloksi
.
Toiseksi kaikilla luonnollisilla luvuilla
on
. Koska
ja
, saadaan raja-arvojen tuloksi
.
Niinpä vaikka molempien lukujonojen raja-arvo on
, näillä erotuksilla on eri raja-arvot. Ei siis voida esittää yleistä sääntöä, josta saataisiin minkä tahansa kahden lukujonon erotuksen raja-arvot, kun molempien lukujonojen raja-arvo on
. Tämän vuoksi myös lauseke
kuuluu epämääräisiin muotoihin.
Epämääräiset muodot
Seuraavissa lausekkeissa oletetaan, että
kuuluu laajennettuun reaalilukujoukkoon
. Epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:
Epämääräinen muoto | Etsitty raja-arvo | Ehto :n avulla | Ehto :n avulla |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Yksinkertaisimpia tapauksia ovat identtiset funktiot
ja
. Tällöin epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:
Epämääräinen muoto | Raja-arvot |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
Sovelluksia
Neperin luku ja eksponenttifunktio
Epämääräinen muoto
liittyy läheisesti Neperin lukuun ja eksponenttifunktion
. Neperin luku e määritellään seuraavasti:
,
ja voidaan osoittaa, että eksponenttifunktiolle
pätee:
[2]
Jos määritellään lukujonot
ja
, saadaan
, ja tietenkin
,
ja kuitenkin
voi x:n arvosta riippuen saada kaikki positiiviset reaalilukuarvot.
Funktion derivaatta
Epämääräinen muoto 0/0 on erityisen huomattava, koska se liittyy läheisesti derivaatan määritelmään. Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona:
.[3]
Tässä lausekkeessa sekä osoittajan että nimittäjän raja-arvot, kun
, ovat selvästi nollia. Kuitenkin tämä raja-arvo eli funktion derivaatta voi funktiosta ja x:n arvosta riippuen saada minkä tahansa reaalilukuarvon.
Lähteet
- ↑ Indeterminate MathWorld. Viitattu 26.7.2023.
- ↑ Lauri Myrberg: ”Eksponenttifunktio”, Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1, s. 150. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.
- ↑ Lauri Myrberg: ”Derivaatan määritelmä”, Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1, s. 105. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.