Isogonaalinen konjugaatti on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle , joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä.[1] Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät ja .[2][3][4][5]
Sisällys
1Sijainti kolmiossa
1.1Trilineaariset koordinaatit
1.2Barysentriset koordinaatit
2Esimerkkejä
3Todistus
3.1Janat sinilausekkeiksi
3.2Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi
3.3Sijoitus Cevan yhtälöön
4Lähteet
4.1Viitteet
5Aiheesta muualla
Sijainti kolmiossa
Trilineaariset koordinaatit
Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit
,
ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit
.[6]
Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin.[7] Toisaalta myös
,
jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden ja olevan toistensa isogonaalisia pisteitä.
Barysentriset koordinaatit
Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on
ja isogonaaliset koordinaatit ovat
,
missä ovat kolmion sivujen pituuksia.[8]
Esimerkkejä
Seuraavat esimerkit merkillisistä pisteistä ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteeja:[7]
ensimmäinen Fermat'n piste () ja ensimmäinen isodynaaminen piste ()
Todistus
Todistetaan isogonaalisen konjugaatin olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle , joka on kolmen kulmanjakajan AA', BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA", BB" ja CC". Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A. Koska on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta [9]
Janat sinilausekkeiksi
Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)
ja kolmiosta ensimmäisen osamäärän nimittäjä
Koska kulmat ja ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli , saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä
Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää
ja
ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan
eli
Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi
Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä, tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua
Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa
ja
Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa
Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi ja jolloin
Kun tätä verrataan Cevan lauseen yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat ( ja sekä ja ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:
ja
Sijoitus Cevan yhtälöön
Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:
Lähteet
Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)
Viitteet
↑Barrow, D. F.: A Theorem about Isogonal Conjugates.. The American Mathematical Monthly, 1913, 20. vsk, nro 8, s. 251–253. Mathematical Association of America. ISSN 00029890. Artikkelin verkkoversio (pdf). Viitattu 15.5.2013. (englanniksi)