Pisteiden välisten matkojen summa antaa approksimaation käyrän pituudesta.
Käyrän pituus, s, funktiolle f saadaan integraalina
[1]
Määritelmä
Olkoon funktio f määritelty suljetulla välillä, jolloin voidaan muodostaa f:n rajoittuma tälle välille eli , missä kaikilla . Lisäksi vaaditaan, että funktiolla f on jatkuva derivaatta f'. Olkoon K funktion g kuvaaja.
Määritellään piste Pi joksikin kuvaajan K pisteeksi (, ja .
Tällöin kuvaajan K pituus on peräkkäisten pisteiden , jossa , välisten etäisyyksien summan raja-arvo, kun välin jakoa tihennetään rajatta.
Kun Δx → 0, termi
Saadaan integraali:
Käyrän pituus johdettuna differentiaalien avulla
Lähteet
↑Harjulehto, Petteri & Klén, Riku & Koskenoja, Mika: Analyysiä reaaliluvuilla, s. 192. Helsinki: Unigrafia, 2014. ISBN 978-952-93-4162-7.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.