Konservatiivinen kenttä

Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee

${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0}$

missä:

• ${\displaystyle \Gamma }$ on suljettu polku, jota pitkin integroidaan

Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. ^[1] Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi }$ jollekin skalaarikentälle ${\displaystyle \phi }$. Mikäli F(x) on voimakenttä, on ${\displaystyle \phi }$ potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun ${\displaystyle \Gamma }$ läpi alkaen paikkavektorista x₀ ja päättyen paikkavektoriin x₁. Oletetaan, että ${\displaystyle \Gamma }$ voidaan parametrisoida ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} \left(t\right)}$ parametrille ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$. Täten

${\displaystyle \int _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} }$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle -\int _{\Gamma }\nabla \phi \cdot d\mathbf {x} }$
	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle -\int _{t_{0}}^{t_{1}}\nabla \phi \cdot {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}dt=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial t}}\right)dt}$
	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle -\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\phi \left(x(t),y(t),z(t)\right)dt=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\phi \left(\mathbf {x} (t)\right)dt}$
	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \phi \left(\mathbf {x} (t_{0})\right)-\phi \left(\mathbf {x} (t_{1})\right)=\phi \left(\mathbf {x} _{0}\right)-\phi \left(\mathbf {x} _{1}\right)}$

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

• Yleisesti jos ${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \phi }$, silloin ${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0\ \forall \ \Gamma }$.

• Vastaavasti jos ${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0\ \forall \ \Gamma }$, silloin ${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \phi }$ jollekin ${\displaystyle \phi }$. Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0}$.

Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi }$, täten jos F on eksakti, eli ${\displaystyle \mathbf {F} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} }$, voidaan kirjoittaa ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =P(x,y)dx+Q(x,y)dy=d\phi }$. Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy}$ on eksakti.

Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =0}$. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi }$ (kts. yllä):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\{\frac {\partial \phi }{\partial x}}&{\frac {\partial \phi }{\partial y}}&{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{vmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\\-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} }$

koska ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial \phi }{\partial b}}={\frac {\partial \phi }{\partial a}}{\frac {\partial }{\partial b}}}$ ja ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial \phi }{\partial b}}={\frac {\partial \phi }{\partial b}}{\frac {\partial }{\partial a}}}$.

Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} }$, on ${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0}$ minkä tahansa polun ${\displaystyle \Gamma }$ ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti ${\displaystyle \int _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {dS} =0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} }$. Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} }$.)