Luvun xkuutiojuuri (merkitään tai x1/3) on luku a niin, että a korotettuna kolmanteen potenssiin on x. Esimerkiksi luvun kuutiojuuri on
sillä
Kuutioluku on kokonaisluku, jonka kuutiojuuri on myös kokonaisluku.
Sisällys
1Geometrisia sovelluksia
2Kompleksiluvun kuutiojuuri
3Katso myös
4Lähteet
Geometrisia sovelluksia
Jos kuution tilavuus V tunnetaan, kuution särmän pituus on tämän tilavuuden kuutiojuuri,
.
Kompleksiluvun kuutiojuuri
Kuutiojuuren käsite voidaan yleistää myös kompleksiluvuille. Jokaista kompleksilukua x + yi kohti, nollaa lukuun ottamatta, on kolme sellaista kompleksilukua u + vi, joiden kuutio on x + yi. Esimerkiksi kompleksiluvun 1 (=1 + 0i) kuutiojuuret ovat , ja . Kuutiojuuren pääarvoksi sanotaan sitä juurta, jolla on itseisarvoltaan pienin argumentti.[1]
Useimmissa tapauksissa kompleksiluvun x+yi kuutiojuuren arvojen reaali- ja imaginaariosia u ja v ei kuitenkaan voida esittää x:n ja y:n algebrallisena lausekkeena. Sen sijaan ne voidaan määrittää trigonometristen funktioiden ja De Moivren kaavan avulla.
Tämä perustuu siihen, että kompleksiluku voidaan esittää myös napakoordinaateissa, sen itseisarvon (moduulin, r) ja vaihekulman (argumentin, ) avulla:
Geometrisesti kompleksiluvun moduuli merkitsee sen kompleksitasolla olevan vastinpisteen etäisyyttä origosta, argumentti taas origosta kyseiseen pisteeseen johtavan suoran ja reaaliakselin (x-akselin) välistä kulmaa.
De Moivren kaavan mukaan
,
ja erityisesti
josta saadaan kääntäen:
Toisin sanoen kompleksiluvun kuutiojuuren moduuli on alkuperäisen kompleksiluvun x + bi moduulista ja argumentti kolmasosa alkuperäisen kompleksiluvun argumentista. Näin saadaan kuutiojuuren pääarvo. Kun kompleksiluvun argumenttiin kuitenkin voidaan lisätä tai vähentää mikä tahansa 2:n monikerta tahansa kompleksiluvun arvon pysyessä ennallaan, on kaksi muutakin kompleksilukua, joiden kuutio on sama, nimittäin: ja
Näin saadaan kompleksiluvun x + yi kuutiojuurille lausekkeet: