Legendren liittofunktio

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Legendren liittofunktiot ovat joukko funktioita, jotka tulevat usein vastaan erilaisissa fysiikan ja tekniikan sovelluksissa. Etenkin Laplacen yhtälön ratkaisussa pallokoordinaatistossa. Vaikka Legendren liittofunktiot voidaan lausua alkeisfunktioiden avulla, luonteensa vuoksi niitä pidetään usein erikoisfunktioina. Legendren liittofunktioista käytetään joskus myös nimitystä Legendren liittopolynomit tai assosioidut Legendren polynomit, vaikka vain osa liittofunktioista oikeastaan on polynomeja.

Legendren liittofunktiot ${\displaystyle P_{n}^{m}(x)}$ toteuttavat Legendren liittoyhtälön eli yleistetyn Legendren differentiaaliyhtälön

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+[n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}]y=0}$

Yhtälössä esiintyvät parametrit ${\displaystyle m}$ ja ${\displaystyle n}$ ovat yleensä positiivisia kokonaislukuja ja niillä on ehto ${\displaystyle n\leq m}$, jotta yhtälöllä olisi muu ratkaisu kuin ${\displaystyle y(x)=0\,}$. Ensimmäiset Legendren liittofunktiot ovat

${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}^{1}(x)=(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{1}^{2}(x)=3x(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{1}^{3}(x)={\frac {3}{2}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{2}^{3}(x)=15x(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{3}(x)=15(1-x^{2})^{3/2}}$

Liittofunktiot ovat polynomeja vain jos ${\displaystyle m}$ on parillinen. Erityisesti

${\displaystyle P_{n}^{0}(x)=P_{n}(x)}$,

mikä tekee Legendren polynomeista liittofunktioiden erikoistapauksen.

Vaikka kaikki liittofunktiot eivät ole polynomeja, niillä on ortogonaalisten polynomien ominaisuuksia. Esimerkiksi Legendren liittofunktioita tuottava Rodriguesin kaava on

${\displaystyle P_{n}^{m}(x)={\frac {(1-x^{2})^{m/2}}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n+m}}{dx^{n+m}}}(x^{2}-1)^{n}}$

tai helpommin niitä voi laskea rekursiokaavoilla

${\displaystyle (n-m+1)P_{n+1}^{m}(x)=(2n+1)xP_{n}^{m}(x)-(n+m)P_{n-1}^{m}(x)}$

${\displaystyle P_{n}^{m+2}(x)={\frac {2(m+1)x}{(1-x^{2})^{1/2}}}P_{n}^{m+1}(x)-(n-m)(n+m+1)P_{n}^{m}(x)}$.

Ne ovat myös ortogonaalisia välillä ${\displaystyle [-1,1]}$ siten, että

${\displaystyle \langle P_{n}^{m},P_{k}^{m}\rangle =\int _{-1}^{1}P_{n}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx=0,\;n\neq k}$

ja liittofunktiot negatiivisilla ${\displaystyle m}$:n arvoilla on helppo saada positiivisista vastaavista

${\displaystyle P_{n}^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}P_{n}^{m}(x)}$.

Ortogonaalisten polynomien tapaan Legendren liittofunktiot muodostavat kantafunktiojoukon, jonka virittämässä kannassa voidaan esittää muita funktioita potenssisarjana. Legendren ${\displaystyle m}$:nsien liittofunktioiden avulla lausuttuna mielivaltaista funktiota ${\displaystyle f(x)}$ vastaa sarjakehitelmä

${\displaystyle f(x)=c_{m}P_{m}^{m}(x)+c_{m+1}P_{m+1}^{m}(x)+c_{m+2}P_{m+2}^{m}(x)+\ldots =\sum _{k=m}^{\infty }c_{k}P_{k}^{m}(x)}$,

missä kertoimet ${\displaystyle c_{k}}$ saadaan integraalista

${\displaystyle c_{k}={\frac {2k+1}{2}}{\frac {(k-m)!}{(k+m)!}}\int _{-1}^{1}f(x)P_{k}^{m}(x)dx}$.

Kuten Legendren polynomit, myös Legendren liittofunktiot voidaan lausua sijoituksella ${\displaystyle x=\cos \theta }$. Tällöin ensimmäiset funktiot saavat muodot

${\displaystyle P_{0}^{0}(\cos \theta )=1}$

${\displaystyle P_{1}^{1}(\cos \theta )=-\sin \theta }$

${\displaystyle P_{2}^{1}(\cos \theta )=-3\cos \theta \sin \theta }$

${\displaystyle P_{2}^{2}(\cos \theta )=3\sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle P_{3}^{1}(\cos \theta )=-{\frac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta }$

${\displaystyle P_{3}^{2}(\cos \theta )=15\cos \theta \sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle P_{3}^{3}(\cos \theta )=-15\sin ^{3}\theta }$

Tämä esitysmuoto on erityisen tärkeä, sillä sen avulla päästään käsiksi monissa yhteyksissä tärkeisiin palloharmonisiin funktioihin.