Lineaarinen aliavaruus

Lineaarinen aliavaruus eli vektorialiavaruus on vektoriavaruuden osajoukko, joka on itsekin vektoriavaruus käytetyn laskutoimituksen ja skalaarikunnan ${\displaystyle K}$ suhteen. Sitä kutsutaan hyvin usein vain aliavaruudeksi, jos ei ole vaaraa sekoittaa sitä topologiseen aliavaruuteen. Aliavaruuden dimensio on aina pienempi tai yhtä suuri kuin alkuperäisen avaruuden. Jos aliavaruus on pienempi kuin alkuperäinen avaruus, kutsutaan sitä aidoksi aliavaruudeksi.^[1]

Jos V on vektoriavaruus ja W on sen osajoukko, niin W on avaruuden V aliavaruus jos ja vain jos ${\displaystyle 0\in W}$, ${\displaystyle \alpha x\in W}$ ja ${\displaystyle x+y\in W}$ kaikilla ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ,\ x,y\in W}$.

Siis esimerkiksi ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}}$-tason (eli ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-tason) aliavaruudet ovat ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}}$ itse (sen ainoa "epäaito aliavaruus"), jokainen origon läpi kulkeva suora ja "triviaali avaruus" ${\displaystyle \scriptstyle \{0\}}$, johon kuuluu pelkkä origo. Vastaavasti avaruuden ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$ aliavaruudet ovat ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle \scriptstyle \{0\}}$ sekä kaikki origon sisältävät tasot ja suorat.

Aliavaruuskriteeri on lause, joka kertoo milloin jokin vektoriavaruus on toisen vektoriavaruuden aliavaruus. Olkoon ${\displaystyle V}$ jokin vektoriavaruus ja ${\displaystyle U}$ jokin sen osajoukko, joka ei ole tyhjä. Nyt joukko ${\displaystyle U}$ on ${\displaystyle V}$:n aliavaruus, jos ja vain jos

${\displaystyle a\mathbf {x} +\mathbf {y} \in U}$

Kaikilla vektoreilla ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U}$ ja skalaareilla ${\displaystyle a\in K}$.

(Tavanomaisimpien vektoriavaruuksien skalaarikuntana ${\displaystyle K}$ on reaalilukujen joukko.)

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.