Modulimuodot ovat funktioryhmiä, jotka on määritelty kompleksitason ylemmässä puoliskossa. Ne keksittiin vasta 1800-luvulla ja ovat oma abstrakti matematiikan alueensa. Modulimuodot ovat monin tavoin symmetrisiä; symmetria tulee esiin tyypillisellä muunnoksella
.
Esimerkki
Dedekindin eetafunktio määritellään
![{\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\ q=e^{2\pi iz}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619b7c6e1a9e063749ef7c198f8fafe10c483d9e)
Silloin modulaarinen diskriminantti Δ(z) = η(z)24 on modulimuoto.
Automorfiset muodot ja muita yleistyksiä
Modulimuodot voidaan yleistää sallimalla funktio
niin että
ja
![{\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f41d24640ef71277f5860361529daa0270c254)
Funktiot muotoa
tunnetaan automorfisina kertoimina.
Toinen yleistys on Hilbert-modulimuodot.
Kirjassa[1] on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon
positiivinen kokonaisluku. Tällöin algebrallinen käyrä
on tasoa
oleva modulikäyrä. Säännöllinen differentiaalimuoto modulikäyrällä
on tasoa
oleva
-kertoiminen modulimuoto.
Kirjassa[2] on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon
kokonaisluku. Meromorfinen funktio
on heikosti modulaarinen painolla
jos
kun
ja
.
Funktio
on modulimuoto painolla
, jos
on holomorfinen sekä
:ssa että
:ssä ja
on heikosti modulaarinen painolla
Lähteet
- ↑ Takeshi Saito: Fermat's Last Theorem Basic Tools
- ↑ Fred Diamond, Jerry Shurman: A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228, Springer
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.