Osittaisintegrointi on matematiikassa menetelmä, jolla useissa tapauksissa voidaan integroida kahden tai useamman funktion tulona muodostettu funktio yhden funktion derivaatan ja toisen integraalifunktion eli antiderivaatan avulla. Sen avulla voidaan usein muuntaa funktioiden tulon integraali muotoon, jossa se on helpommin määritettävissä. Osittaisintegrointisääntö seuraa suoraan funktioiden tulon derivoimissäännöstä.[1] sovelluksena integraalilaskentaan.
Jos ja , kun taas ja , osoittaisintegrointisäännön mukaan on
Osittaisintegroinnin avulla voidaan useissa tapauksissa määrittää sekä annetun funktion integraalifunktio että sen Riemannin integraali jonkin annetun välin yli.[1] Säännöstä on myös yleisempiä muotoiluja, joiden avulla voidaan määrittää myös Riemann-Stieltjes- ja Lebesgue-Stieltjes-integraaleja. Säännön analoginen vastine sarjoille tunnetaan osittaissummauksena.
Osittaisintegroinnin keksi Brook Taylor, joka julkaisi säännön ensimmäisen kerran vuonna 1715.[2][3]
Sisällys
1Lause
1.1Kahden funktion tulo
1.2Pätevyys vähemmän sileille funktiolle
1.3Useamman funktion tulo
2Havainnollistus
3Sovelluksia
3.1Integraalifunktion löytäminen
3.1.1Polynomit ja trigonometriset funktiot
3.1.2Eksponentti- ja trigonometriset funktiot
3.1.3Funktiot kerrottuna yhdellä
3.1.4LIATE-sääntö
3.2Osittaisintegroinnin avulla todistettuja tuloksia
3.2.1Wallisin tulo
3.2.2Gammafunktio ja kertoma
3.3Käyttö harmonisessa analyysissä
3.3.1Derivaatan Fourier-muunnos
3.3.2Fourier-muunnoksen suppeneminen
3.4Käyttö operaattoriteoriassa
3.5Muita sovelluksia
4Toistuva osittaisintegrointi
4.1Taulukoitu osittaisintegrointi
5Korkeammat ulottuvuudet
5.1Greenin ensimmäinen identiteetti
6Katso myös
7Lähteet
Lause
Kahden funktion tulo
Osittaisintegroinnin perustana oleva lause voidaan todistaa seuraavasti. Kun u(x) ja v(x) ovat jatkuvasti differentioituvia funktioita, tulon derivoimissäännön mukaan on:
Kun yhtälön molemmat puolet integroidaan x:n suhteen:
ja kun otetaan huomioon, että rajoiltaan määrittämätön integrointi on derivoinnin käänteistoimitus, saadaan:
missä integroimisvakiota ei ole kirjoitettu näkyviin. Tästä saadaan seuraava osittaisintegroinnin kaava:
mikä differentiaalien avulla voidaan kirjoittaa myös muotoon
Tämän on ymmärrettävä sellaisten funktioiden yhtäsuuruudeksi, joista kumpaankin on lisätty määrittämätön vakio. Laskemalla kummallekin puolelle kahden arvon, x = a ja x = b, erotus ja soveltamalla analyysin peruslausetta saadaan määrättyä integraalia koskeva versio:
Alkuperäinen integraali ∫ uv′ dx sisältää derivaatan v′. Lauseen soveltamiseksi on löydettävä v':n integraalifunktio (antiderivaatta ja laskettava tuloksena saatu integraali ∫ vu′ dx.
Pätevyys vähemmän sileille funktiolle
Osittaisintegrointi ei välttämättä edellytä, että funktiot u ja v ovat jatkuvasti differoituvia. Riittää, että u on absoluuttisesti jatkuva ja v:llä merkitty funktio Lebesgue-integroituva, ei välttämättä edes jatkuva.[4] (Jos v:llä on epäjatkuvuuskohta, sen integraalifunktio v ei voi kyseisessä pisteessä olla derivoituva.)
Jos integroimisväli ei ole kompakti, u:n ei tarvitse välttämättä olla absoluuttisesti jatkuva eikä v:n Lebesgue-integroituva kyseisellä välillä. Tämän osoittavat seuraavat esimerkit, joissa u ja v ovat jatkuvia ja jatkuvasti differentioituvia. Esimerkiksi jos
u ei ole absoluuttisesti jatkuva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta
mikäli :n katsotaan tarkoittavan lausekkeen raja-arvoa, kun ja kunhan molemmat oikealla puolella olevat termit ovat äärellisiä. Tämä pätee vain, jos valitaan Samoin jos
v′ ei ole Lebesgue-integroituva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta
samoilla edellytyksillä.
Vastaavia esimerkkejä, joissa u ja v eivt ole jatkuvasti differentoituvia, voidaan myös helposti muodostaa.
Lisäksi jos funktio on rajoitettu välillä ja differentioituva välillä , on
missä tarkoittaa etumerkillä varustettua mittaa, joka vastaa rajoitetusti vaihtelevaa funktiota , ja funktiot ovat
n laajennuksia koko :ään, joista edellinen on rajoitetusti vaihteleva ja jälkimmäinen differentioituva.
Useamman funktion tulo
Kolmen funktion, u(x), v(x), w(x), tulolle saadaan vastaava tulos:
Yleisemin n funktion tulolle pätee:
mistä saadaan
Havainnollistus
Osittaisintegronnin graafinen tulkinta. Kuvioon merkitty käyrä on parametroitu muuttujalla t.
Tarkastellaan parametrimuodossa esitettyä käyrä (x, y) = (f(t), g(t)). Edellyttäen, että käyrä on lokaalisti injektio ja integroituva voidaan määritellä:
Oheisessa kaaviossa sinisellä merkityn alueen pinta-ala on
ja punaisella merkityn
Näiden summa A1 + A2 on yhtä kuin suuremman ja pienemmän suorakulmion pinta-alojen erotus, , toisin sanoen:
Eli parametrin t avulla sanottuna:
Käyttämällä määräämättömiä integraaleja tämä voidaan kirjoittaa muotoon
tai siirtämällä termejä yhtälön toiselle puolelle edelleen muotoon
Osoittaisintegrointi voidaan siis käsittää keinoksi, jolla sinisen alueen pinta-ala voidaan laskea suorakulmioiden ja punaisen alueen pinta-alojen avulla.
Tämä havainnollistus selittää myös sen, että osittaisintegroinnilla voidaan usein määrittää käänteisfunktionf−1(x) integraali, kun funktion f(x) integraali tunnetaan. Itse asiassa funktiot x(y) ja y(x) ovat toistensa käänteisfunktioita, ja integraali ∫ xdy voidaan laskea kuten edellä, jos integraali ∫ ydx tunnetaan. Erityisesti tämä selittää osittaisintegroinnin käytön logaritmifunktion ja arkusfunktioiden integroimiseksi. Jos on differentioituva injektiivinen funktio jollakin välillä, osittaisintegroinnilla voidaankin johtaa kaava funktion integraalille :n integraalin avulla.
Sovelluksia
Integraalifunktion löytäminen
Annetun funktion integraalifunktion määrittämiseksi osittaisintegrointi on pikemminkin heuristinen kuin puhtaasti mekaaninen menetelmä. Kun integroitava funktio on annettu, on etsittävä kaksi sellaista funktiota, u(x) ja v(x), joiden tulo annettu funktio on, että osittaisintegroinnin kaavassa jäljellä jäävä integroitava funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio. Aina sellaisia funktioita ei kuitenkaan ole helppo löytää. Jos sellaiset on löydettävissä, voidaan käyttää seuraavaa kaavaa:
Yhtälön oikealla puolella u on differentioitu ja v integroitu; niinpä on joko valittava funktio u niin, että se yksinkertaistuu differentoitaessa, tai funktio v niin, että se yksinkertaistuu integroitaessa. Yksinkertaisena esimerkkinä voidaan käyttää funktiota
Koska ln(x):n derivaatta on , funktioksi u valitaan ln(x), ja koska :n integraalifunktio on , differentiaaliksi dv valitaan . Näin saadaan:
Funktion integraalifunktio saadaan potenssin integrointisäännön avulla ja se on
Vaihtoehtoisesti u ja v voidaan valita siten, että tulo u′ (∫vdx) yksinkertaistuu termien kumoutuessa. Esimerkiksi jos on laskettava integraali
,
voidaan valita u(x) = ln(|sin(x)|) ja v(x) = sec2x. Silloin u:n differentiaaliksi saadaan ketjusäännön avulla 1/ tan x, ja v:n integraalifunktio on tan x, joten kaavasta saadaan:
Integroitava yksinkertaistuu vakioksi 1, joten sen integraalifunktio on x. Yksinkertaistavan kombinaation löytäminen edellyttää usein kokeiluja.
Joskus osittaisintegrointi on käyttökelpoinen menetelmä, vaikka integraalille ei voitaisikaan esittää yksinkertaista lauseketta. Esimerkiksi numeerisessa analyysissä tulo sellaisenaan on usein riittävän hyvä likiarvo integraalille , mikäli integraali on siihen verrattuna itseisarvoltaan niin pieni, että se voidaan jättää huomioon ottamatta.
Vastaavalla menettelyllä voidaan määrittää sekantin kuution integraali.
Funktiot kerrottuna yhdellä
Kaksi muuta hyvin tunnettua esimerkkiä ovat tapauksia, joissa osittaisintegrointia sovelletaan funktioon ilmaistuna itsensä ja vakion 1 tulona. Tämä on mahdollista, jos funktion derivaatta tunnetaan ja jos myös tämän derivaatan ja x:n tulon integraali tunnetaan.
Ensimmäinen esimerkki on ∫ ln(x) dx. Kirjoitetaan tämä muotoon:
jolloin käyttämällä sekä sijoitusmenetelmää että luonnollisen logaritmin integraaliehtoa saadaan:
.
LIATE-sääntö
Sille, miten osittaisintegroinnissa käytettävät funktiot u ja v on valittava, on esitetty nyrkkisääntö, jonka mukaan u on se funktio, joka on ensimmäisenä seuraavassa luettelossa:[5]
Differentiaali dv muodostetaan funktiosta v, joka on jäljempänä listalla: niiden integraalifunktiot on helpommin muodostettavissa kuin edellä olevien funktioiden. Säännöstä käytetään joskus myös nimeä "DETAIL", missä D viittaa differentiaaliin dv.
LIATE-säännön mukaisesti valitaan u = x, ja dv = cos(x) dx, mistä saadaan du = dx, ja v = sin(x), jolloin integraali saa muodon
joka on yhtä kuin
Yleensä yritetään valita u ja dv siten, että du on yksinkertaisempi kuin u ja dv on helppo integroida. Jos sen sijaan uksi valittaisiin cos(x) ja dv:ksi x dx, saataisiin integraali
ja jos tähän edelleen sovelletaan toistuvasti osittaisintegrointia, joudutaan selvästikin päättymättömään rekursioon eikä integraalia saada määritetyksi.
Vaikka LIATE on hyvä yleissääntö, siitä on poikkeuksia. Yleinen vaihtoehto on käyttää sen sijasta "ILATE"-sääntöä. Toisinaan polynomitermit on myös hajotettava ei-triviaaleilla tavoilla. Esimerkiksi integraalin
määrittämiseksi valitaan
niin että
.
Saadaan
Tämä johtaa lopulta tulokseen
Osittaisintegroinnin avulla todistettuja tuloksia
Osittaisintegrointisääntöä voidaan käyttää matemaattisessa analyysissä myös monien lauseiden todistamiseen.
kun on luonnollinen luku, toisin sanoen , käyttämällä tätä kaavaa toistuvasti saadaan kertoma:
Käyttö harmonisessa analyysissä
Osittaisintegrointia käytetään usein harmonisessa analyysissä, varsinkin Fourier-analyysissä osoittamaan, että Riemannin–Lebesguen lemman mukaisesti nopeasti värähtelevät integraalit, joissa on tarpeeksi tasainen integrandi, pienenevät nopeasti nollaan. Tavallisin esimerkki tästä on osoittaa, että funktion Fourier-muunnoksen pieneneminen riippuu funktion sileydestä jäljempänä selitetyllä tavalla.
Derivaatan Fourier-muunnos
Jos f on k kertaa jatkuvasti differentioituva funktio ja sen kaikki derivaatat k:nteen saakka lähestyvät nollaa x:n kasvaessa rajatta, sen Fourier-muunnos toteuttaa yhtälön
missä f(k) on funktion fk:s derivaatta. Tämä voidaan todistaa toteamalla, että
joten soveltamalla osittaisintegrointia Fourier-muunnoksen derivaattaan saadaan
Toistamalla tämä induktiivisesti saadaan tulos mille tahansa k:n arvolle. Samaan tapaan voidaan löytää funktion derivaatan Laplace-muunnos.
Fourier-muunnoksen suppeneminen
Edellä saatu tulos liittyy Fourier-muunnoksen suppenemiseen, sillä siitä seuraa, että jos f ja f(k) ovat integroituvia, niin
Toisin sanoen jos f toteuttaa nämä ehdot, sen Fourier-muunnos lähestyy nollaa ξ:n kasvaessa rajatta vähintään yhtä nopeasti kuin 1/|ξ|k. Erityisesti jos k ≥ 2, Fourier-muunnos on integroituva.
Tämän todistamiseen käytetään seuraavaa epäyhtälöä, joka seuraa suoraan Fourier-muunnoksen määritelmästä:
Soveltamalla samaa ideaa tämän osion alussa olevaan yhtälöön saadaan:
Yhdistämällä nämä kaksi epäyhtälöä ja jakamalla 1 + |2Malline:Piξk| saadaan tulos todistetuksi.
Käyttö operaattoriteoriassa
Operaattoriteoriassa osittaisintegrointia käytetään muun muassa sen osoittamiseen, että −∆, missä ∆ on Laplacen operaattori, on positiivinen operaattori Lp-avaruudessa L2. Jos f on sileä ja kompaktisti kannatettu, saadaan osittaisintegroinnilla
Osittaisintegroinnin kaavassa esiintyvän :n toisen derivaatan tarkastelu integraalisissa LHS:n yli viittaa siihen, että integrointi RHS:n yli voidaan suorittaa toistuvasti:
Tämän toistuvan osittaisintegroinnin käsitteen laajennus n:nnen asteen derivaattoihin johtaa tulokseen
Tämä on usein käyttökelpoista, kun :n peräkkäiset integraalit on helposti saatavissa, esimerkiksi kun kyseessä on eksponenttifunktio, sini tai kosini, kuten Laplacen tai Fourier'n muunnoksessa ja kun :n n:s derivaatta häviää, esimerkiksi kun kyseessä on :nnen asteen polynomifunktio. Jälkimmäinen ehto rajoittaa sitä, kuinka moneen kertaan osoittaisintegrointi voidaan toistaa, sillä RHS-integraali häviää.
Toistaessa tätä osittaisintegrointia ilmenee yhteys integraalien
and ja
välillä. Tämä voidaan tulkita mielivaltaiseksi derivaattojen vaihdokseksi funktioiden ja välillä integrandissa, ja se on myös osoittautunut käyttökelpoiseksi.
Taulukoitu osittaisintegrointi
Edellä olevan kaavan oleellinen sisältö voidaan ilmaista taulukon muodossa, ja menetelmää sanotaankin "taulukoiduksi (tabulaariseksi) integroinniksi"[6]. Se esiintyy myös elokuvassa Älä anna periksi (engl.Stand and Deliver).[7]
Tarkastellaan esimerkiksi integraalia
ja valitaan
Listan alussa sarakkeessa A on funktio ja sen eriasteiset derivaatat, kunnes ne tulevat nollaksi. Sarakkeeseen B taas merkitään funktio ja sen peräkkäiset integraalifunktiot , kunnes sarakkeessa B on yhtä monta riviä kuin A:ssakin. Saadaan seuraava taulukko:
# i
Etumerkki
A: derivaatat u(i)
B: integraalit v(n−i)
0
+
1
−
2
+
3
−
4
+
Taulukon i:nnellä rivillä sarakkeissa A ja B olevien lausekkeiden tulo yhdessä vastaavan etumerkin kanssa antaa ne integraalit, jotka saadaan toistettaessa osittaisintegrointi i kertaa. Kun i = 0, saadaan alkuperäinen integraali. Täydellinen tulos saadaan, kun i:s integraali lasketaan yhteen kaikkien niiden tulojen kanssa, jotka saadaan kertomalla ylempänä sarakkeella Aj:nnellä rivillä ja sarakkeella Bj+1:nnellä rivillä ((0 ≤ j < i) olevat lausekkeet keskenään (siis esimerkiksi sarakkeen A ensimmäisen rivin lauseke kerrotaan sarakkeen B toisen lausekkeen kanssa, sarakkeen A toisen rivin lauseke sarakkeen B kolmannen rivin lausekkeen kanssa jne.) ja varustamalla kukin niistä j:nnen rivin etumerkillä. Tämä prosessi lopetetaan luonnollisesti, kun tulo, joka antaa integraalin, on nolla (tässä esimerkissä neljännellä rivillä). Lopputulos vuorottelevine etumerkkeineen on seuraava:
Tästä saadaan:
Toistettu osittaisintegrointi osoittuu käyttökelpoiseksi myös, kun differentioitaessa funktiota ja integroitaessa funktiota ja integroitaessa funktiota niiden tuloksi saadaan alkuperäisen integrandin monikerta. Tässä tapauksessa toisto voidaan myös lopettaa tällä indeksin arvolla i. Näin voi tapahtua varsinkin, kun kyseessä on eksponentti- tai trigonometriset funktiot. Tarkastellaan esimerkiksi integraalia
# i
Etumerkki
A: derivaatat u(i)
B: integraalit v(n−i)
0
+
1
−
2
+
Tässä tapauksessa sarakkeilla A ja B olevien termien tulot varustettuina indeksin arvoa vastaavalla etumerkillä antaa tulokseksi alkuperäisen integrandin vastaluvun (vertaa rivejä i=0 ja i=2).
Kun otetaan huomioon, että RHS:n integraalilla on oma integroimisvakionsa ja siirtämällä abstrakti integraali yhtälön toiselle puolelle saadaan
ja lopulta:
missä C = C′/2.
Korkeammat ulottuvuudet
Osittaisintegrointi voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioihin soveltamalla analyysin peruslauseen sopivaa versiota sopivaan tulosääntöön. Monen muuttujan integraalilaskennassa on useita mahdollisia keinoja ilmaista funktio kahden funktion tulona, josta toinen on skalaariarvoinen funktio u ja toinen vektoriarvoinen funktio (vektorikenttä) V.[8]
Vektorianalyysissa divergenssin tulosäännön mukaan on:
Olkoon jokin :n avoinrajoitettu osajoukko, jolla on paloittain sileä reuna . Integoimalla :n yli standardin tilavuuskaavan suhteen ja soveltamalla divergenssiteoreemaa saadaan:
missä on reunalla ulospäin osoittava kohtisuora yksikkövektori integroituna standardin Riemannin tilavuuden suhteen. Uudelleenjärjestelemällä saadaan:
eli toisin sanoen
Lauseen säännöllisyysvaatimuksia voidaan lieventää. Esimerkiksi riittää, että reuna on Lipschitz-jatkuva ja funktiot u ja v kuuluvat Sobolevin avaruuteen H1(Ω).[4]
Greenin ensimmäinen identiteetti
Tarkastellaan jatkuvia vektorikenttiä ja , missä on :n i:s standardi kantavektori. Sovelletaan osittaisintegrointia jokaiseen lausekkeeseen, joka saadaan kertomalla vektorikenttä jollakin kertoimista :
Laskemalla nämä yhteen saadaan uusi osittaisintegrointikaava:
Tapaus , missä , tunnetaan ensimmäisenä Greenin identiteettinä:
↑ abcdLauri Myrberg: ”osittaisintegrointi”, Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1, s. 240–245. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.
↑Brook Taylor History.MCS.St-Andrews.ac.uk. Viitattu 21.11.2020.
↑Brook Taylor Stetson-edu. Arkistoitu 3.1.2018. Viitattu 21.11.2020.
↑ abIntegration by parts Encyclopedia of Mathematics. Viitattu 21.11.2020.
↑Herbert E. Kasube: A Technique for Integration by Parts. The American Mathematical Monthly, 1983, 90. vsk, nro 3, s. 210–211. doi:10.2307/2975556.
↑G. B. Thomas, R. L. Finney: Calculus and Analytic Geometry. 7. painos. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1988. ISBN 0-201-17069-8.
↑David Horowitz: Tabular Integration by Parts. The College Mathematics Journal, 1990, 21. vsk, nro 4, s. 307–311. doi:10.2307/2686368.
↑The Calculus of Several Variables math.nagoya-u.ac.jp. 29.9.2011. Viitattu 21.11.2020.
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista. Alkuperäinen artikkeli: en:Integration by parts