Permutaatiomatriisi
![]() | Tämä artikkeli tai sen osa on tuotu vieraskielisestä lähteestä ja käännös on keskeneräinen. Voit auttaa Wikipediaa tekemällä käännöksen loppuun. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Symmetric_group_3%3B_Cayley_table%3B_matrices.svg/320px-Symmetric_group_3%3B_Cayley_table%3B_matrices.svg.png)
Kahden permutaatiomatriisin matriisitulo on myös permutaatiomatriisi. ( Englanniksi matriisitulosta ).
Nämä ovat kuuden matriisin asemat:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Symmetric_group_3%3B_Cayley_table%3B_positions.svg/310px-Symmetric_group_3%3B_Cayley_table%3B_positions.svg.png)
(Ne ovat myös permutaatiomatriiseja.)
Permutaatiomatriisi on matematiikan matriisiteoriassa eliöllinen yksikkömatriisi, jolla on täsmälleen yksi johtava alkio 1 jokaisella rivillä ja sarakkeessa ja kaikkialla muualla 0. Jokainen sellainen matriisi esittää tiettyä permutaatiota, jossa on m alkiota ja kerrottaessa toisella matriisilla, se voi tuottaa uuden matriisin, jolla on toisen matriisin rivit ja sarakkeet.
Määritelmä
Annettu "m":n alkion permutaatio π ,
annettu kahden rivin muodossa
sen permutaatiomatriisi on m × m matriisi Pπ, jonka johtavat alkiot ovate kaikkialla 0, paitsi rivillä i, johtava alkio π(i) on 1. Voidaan kirjoittaa
jossa merkitsee rivivektorin pituutta "m", jolla on 1 js asemassa ja 0 kaikkialla muualla.[1]
Ominaisuudet
Annetut kaiksi permutaatiota π ja σ, joilla on "m" alkiota ja vastaavat permutaatiomatriisit
Pπ ja Pσ
Tämä jollain tapaa epätoivottu sääntö on seurausta permutaatioiden kertolaskun määritelmästä (bijektioiden rakenne) ja matriiseista ja valinnasta käyttää vektoreita permutaatiomatriisien riveinä; jos käytetään sarakkeita niin yllä olevasta tulosta tulee , joke on yhtäsuuri alkuperäisessä järjestyksessä olevien permutaatioiden kanssa.
Koska permutaatiomatriisit ovat ortogonaalisia matriiseja (ts., ), käänteismatriisit ovat olemassa ja voidaan kirjoittaa
Kertomalla kertaa sarakevektorilla (englanniksi column vector) g voidaan permutoidan vektorin rivit:
Käyttämällä sen jälkeen kun on käytetty, saadaan sama tulos kuin käyttämällä suoraan
yhtäpitävästi yllä olevan kertolaskusäännön kanssa: merkitään , toisin sanoen
kaikilla i, siten
Kertomalla rivivektoria (englanniksi row vector) h kertaa
permutoi vektorin sarakkeet käänteis :
Jälleen voidaan tarkistaa, että .
Notes
Merkitään Sn:lla symmetristä ryhmää (engl. symmetric group), tai permutaatioiden ryhmää {1,2,...,n}. Koska nyt on n! permutaatioita, on olemassa n! permutaatiomatriiseja. Yllä olevien kaavojen perusteella n × n permutaatiomatriisit muodostavat ryhmän (engl. group) yksikkömatriisin kertolaskulla.
Jos (1) viittaa identiteetti permutaatioon (yksikkö permutaatio), niin P(1) on yksikkömatriisi.
Permutaatiomatriisia voidaan tarkastella σ:n permutaationa, kun permutaatio σ on yksikkömatriisin "I" sarakkeina tai "I":n rivien permutaatioina σ−1.
Permutaatiomatriisi on stokastinen neliömatriisi.[2]
Tulo "PM" saadaan kertomalla matriisia "M" permutaatiomatriisilla "P", permutoimalla "M"n rivit "i" liikkuvat riveiksi π(i). Päinvastoin tulo MP permutoi M:n sarakkeita.
Kuvaus Sn → A ⊂ GL(n, Z2). Siten, |A| = n!.
Permutaatiomatriisin jälki permutaation kiinnitettyjen pisteiden lukumäärä. Jos permutaatiolla on kiinteitä pisteitä, niin se voidaan kirjoittaa rengasmuodossa kuten π = (a1)(a2)...(ak)σ where σ jos sillä ei ole kiinteitä pisteitä, silloin voidaan kirjoittaa ea1,ea2,...,eak jotka ovat permutaatiomatriisin ominaisarvot.
Ryhmäteorian pohjalta tiedetään että mikä tahansa permutaatio voidaan kirjoittaa transpoosin tulona. Sen tähden minkä tahansa permutaatiomatriisin "P" tekijät saadaan Alkeismatriisin rivitoimituksilla, jossa jokaisella on determinantti -1. Siten permutaatiomatriisin "P" determinatti on vastaavan permutaation merkki.
Esimerkkejä
Rivien ja sarakkeiden permutaatiot
Kun permutaatiomatriisia "P" kerrotaan matriisilla "M" vasemmalta "PM" permutoi "M":n rivit (sarakevektorin alkioilla), kun "P" kerrotaan "M":llä oikealta "MP" permutoi "M":n sarakkeet (rivivektorin alkiot):
![]() | ![]() |
Rivien ja sarakkeiden permutaatiot ovat esimerkkejä peilauksesta (katso alla) ja syklisistä permutaatioista (engl. cyclic permutation matrix).
reflections | ||
---|---|---|
Nämä matriisien järjestelyt ovat peilauksia yllä olevista. |
Rivien permutaatio
PErmutaatiomatriisi Pπ vastaa permutaatiota : joten
Annetulle vektorille g,
Selitys
Permutaatiomatriisi on aina muotoa
jossa eai esittää i:ttä basis alkeisvektoria (kuten riviä) R:lle 'j, missä
on permutaatio muoto permutaatiomatriisista.
Suorittamalla matriisikertolaskun, erityisesti muodostamalla pistetulo ensimmäisen matriisin jokaisen rivin toisen matriisin jokaisen sarakkeen kanssa. Tässä esimerkissä muodostetaan pistetulo jokaisen tämän matriisin rivin ja halutun vektorin alkioiden välille. Joka on esimerkiksi v= (g0,...,g5)T,
- eai·v=gai
Siten permutaatiomatriisin tulo vektorin v kanssa (yllä), muodostaa vektorin muotoa (ga1, ga2, ..., gaj), ja tämä on siten v:n permutaatio kun sanotaan, että permutaatio on muotoa
Siten permutaatiomatriisit itse asiassa permutoivat vektorin alkioiden järjestyksessä kerrottaessa permutaatiomatriisit niillä.
Lähteet
- Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 108. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86565-4.