Q-analogia

q-analogia on matematiikan osa-alue, joka muistuttaa tavallista analyysiä, mutta perustuu hieman erilaiseen määritelmään. q-analogiassa saadaan monia normaalia tutunnäköisiä tuloksia, mutta tavallisten funktioiden q-analogioiden ominaisuudet ovat yleensä hieman totutusta poikkeavia. q-analogiassa keskeinen suure on kompleksiluku q, joka valitaan siten, että ${\displaystyle |q|<1}$.

Eulerin–Jacksonin operaattori eli q-derivaatta on eräs tapa määritellä derivaatan diskreetti vastine. q-derivaatta, joka operoi funktioon f(x), määritellään erotusosamääränä

${\displaystyle D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}}$.

Helposti nähdään, että kun tässä ${\displaystyle q\to 1}$ niin q-derivaatan määritelmä lähestyy tavallisen derivaatan määritelmää.

Tämän q-derivaatan avulla voidaan määritellä differentiaaliyhtälöiden diskreettejä vastineita, q-differenssiyhtälöitä. Tällaisen yhtälön yleinen muoto on

${\displaystyle F(y(z),y(qz),\ldots ,y(q^{k}z);q,z)=0\;}$,

missä z ja q ovat kompleksilukuja. Kun derivaatan lisäksi määritellään vielä q-siirto -operaattori

${\displaystyle T_{q}^{n}f(x)=f(q^{n}x)}$

saadaan määriteltyä kokonainen q-derivaattaan perustuva analyysin vastine.

Usein vastaantulevia merkintöjä ovat nk. q-sulkeet

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$

sekä q-kertoma

${\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\ldots [n]_{q}}$

joiden avulla kirjoitettuna q-analogian lausekkeet muistuttavat normaalin analyysin vastaavia. Erityisesti kannattaa huomata, että

${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$,

joten q-kertoma on täsmälleen analoginen tavallisen kertoman kanssa.