Whiteheadin lause

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Matematiikassa homotopiateoriaan kuuluva Whiteheadin lause sanoo, että jos jatkuva kuvaus f topologisten avaruuksien X ja Y välillä indusoi isomorfismin kaikkien homotopiaryhmien välille, on f homotopiaekvivalenssi olettaen, että X ja Y ovat yhtenäisiä CW-komplekseja. Tuloksen todisti J. H. C. Whitehead ja se tarjosi perustelut CW-kompleksien hyödyllisyydelle homotopiateoriassa.

Tarkemmin sanottuna, olkoon annetut CW-kompleksit X ja Y kantapisteinään x ja y tässä järjestyksessä. Olkoon f jatkuva kuvaus

f : X → Y,

jolle f(x) = y. Kun n ≥ 0, tarkastellaan indusoituja kuvauksia

f_* : π_n(X,x) → π_n(Y,y),

missä π_n tarkoittaa kaikilla n ≥ 1 n:ttä homotopiaryhmää. Kun n = 0 tämä tarkoittaa polkukomponenttien kuvausta. Jos sekä X että Y ovat yhtenäisiä, ei kuvaus f anna mitään tietoa avaruuksista. Sanomme, että f on heikko homotopiaekvivalenssi jos kuvaukset f_* ovat kaikki bijektiivisiä. Tällöin Whiteheadin lause sanoo, että heikko topologiaekvivalenssi yhtenäisten CW-kompleksien välillä on itse asiassa homotopiaekvivalenssi.