Équation aux dérivées partielles parabolique
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/35px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/35px-Circle-icons-physics-logo.svg.png)
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques et la physique.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :
est dite parabolique en un point donné x de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique des coefficients du second ordre admet n–1 valeurs propres non nulles et de même signe et une valeur propre nulle, le vecteur propre associé à cette dernière, noté , étant tel que , désignant le vecteur des n coefficients du premier ordre[1],[2].
Exemple
Un exemple classique d'équation différentielle parabolique est l'équation de la chaleur :
- ,
où D est la diffusivité thermique et CP la chaleur spécifique à pression constante, S désignant un terme source de production de chaleur, T = T(t,r) la température au point r de l'espace et à l'instant t.
En effet, dans ce cas la matrice A est donnée par et admet donc une valeur propre nulle, et trois autres égales à –D et donc de même signe. Par ailleurs le vecteur propre associé à la valeur propre nulle, soit (1,0,0,0) est clairement non orthogonal au vecteur .
Notes et références
- ↑ H. Reinhard 2004
- ↑ Si cette dernière condition n'est pas vérifiée l'équation sera dégénérée.
Bibliographie
- H. Reinhard, Équations aux dérivées partielles, introduction, Paris, Dunod Université, coll. « Sciences Sup » (réimpr. 2004) (1re éd. 1991), 291 p., broché (ISBN 978-2100484225).
- Maurice Gevrey, Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique, Gauthier-Villars, 1913
Voir aussi
- Équation aux dérivées partielles
- Équation aux dérivées partielles elliptique
- Équation aux dérivées partielles hyperbolique
Portail de l'analyse
Portail de la physique