Graphe de la fonction arc tangente intégral. En mathématiques, la fonction arc tangente intégral est une fonction spéciale , définie comme une primitive de la fonction arctan t t {\displaystyle {\frac {\arctan t}{t}}} .
Définition La fonction arc tangente intégral est définie par :
Ti 2 ( x ) = ∫ 0 x arctan t t d t {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,\mathrm {d} t} La fonction arc tangente ( arctan {\displaystyle \arctan } ) est considérée ici sur sa branche principale, c'est-à-dire que − π 2 < arctan t < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\arctan t<{\frac {\pi }{2}}} pour tout nombre réel t {\displaystyle t} [ 1] .
Histoire et notations Spence (1809)[ 2] a étudié la fonction en utilisant la notation C n ( x ) {\displaystyle {\overset {n}{\operatorname {C} }}(x)} . La fonction a été étudiée aussi par Ramanujan[ 3] .
La notation Ti 2 {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}} (et plus généralement Ti n {\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}} , cf. « Généralisation ») est due à Lewin.
Propriétés La fonction arc tangente intégral est impaire [ 1] :
Ti 2 ( − x ) = − Ti 2 ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(-x)=-\operatorname {Ti} _{2}(x)} Les valeurs de Ti 2 ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)} et Ti 2 ( 1 / x ) {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(1/x)} sont reliées par l'identité :
Ti 2 ( x ) − Ti 2 ( 1 x ) = π 2 ln x {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{2}}\ln x} , vraie pour tout x > 0 {\displaystyle x>0} (ou, plus généralement, pour Re ( x ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (x)>0} ). On le prouve en dérivant et en utilisant l'identité arctan ( t ) + arctan ( 1 / t ) = π / 2 {\displaystyle \arctan(t)+\arctan(1/t)=\pi /2} [ 3] , [ 4] .
La valeur particulière Ti 2 ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(1)} donne la constante de Catalan K = β ( 2 ) = 1 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + ⋯ ≈ 0 , 915966 {\displaystyle K=\beta (2)=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \approx 0,915966} [ 4] .
Relation avec d'autres fonctions
Développement en série La représentation en série entière de l'arc tangente intégral est :
Ti 2 ( x ) = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) 2 = x − x 3 3 2 + x 5 5 2 − x 7 7 2 + ⋯ {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}-{\frac {x^{7}}{7^{2}}}+\cdots } , qui est absolument convergente pour | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1} [ 1] .
Relation avec le dilogarithme L'arc tangente intégral est étroitement lié au dilogarithme Li 2 ( z ) = ∑ n = 1 ∞ z n n 2 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}} , et peut être exprimé simplement en termes de cette fonction :
Ti 2 ( z ) = 1 2 i [ Li 2 ( i z ) − Li 2 ( − i z ) ] {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left[\operatorname {Li} _{2}(\mathrm {i} z)-\operatorname {Li} _{2}(-\mathrm {i} z)\right]} Ainsi[ 1] :
∀ x ∈ R , Ti 2 ( x ) = Im ( Li 2 ( i x ) ) . {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \operatorname {Ti} _{2}(x)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(\mathrm {i} x)).}
Relation avec la fonction chi de Legendre L'arc tangente intégral est lié à la fonction chi de Legendre χ 2 ( x ) = x + x 3 3 2 + x 5 5 2 + ⋯ {\displaystyle \chi _{2}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}+\cdots } par[ 1] :
Ti 2 ( x ) = − i χ 2 ( i x ) {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=-\mathrm {i} \,\chi _{2}(\mathrm {i} x)} On peut remarquer que χ 2 ( x ) {\displaystyle \chi _{2}(x)} peut s'exprimer à partir de l'intégrale ∫ 0 x artanh t t d t {\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {artanh} t}{t}}\,\mathrm {d} t} , similaire à l’expression de l'arc tangente intégral mais avec la tangente hyperbolique réciproque à la place de l'arc tangente.
Relation avec la fonction zêta de Lerch L'arc tangente intégral peut également être écrit en termes de fonction transcendante de Lerch Φ ( z , s , a ) = ∑ n = 0 ∞ z n ( n + a ) s {\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}} :
Ti 2 ( x ) = 1 4 x Φ ( − x 2 , 2 , 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)={\frac {1}{4}}x\,\Phi (-x^{2},2,{\frac {1}{2}})}
Généralisation De façon similaire au polylogarithme Li n ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k n {\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}} , la fonction :
Ti n ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) n = x − x 3 3 n + x 5 5 n − x 7 7 n + ⋯ {\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)^{n}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{n}}}+{\frac {x^{5}}{5^{n}}}-{\frac {x^{7}}{7^{n}}}+\cdots } est définie de manière analogue. Elle vérifie la relation de récurrence[ 5] :
Ti n ( x ) = ∫ 0 x Ti n − 1 ( t ) t d t {\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {Ti} _{n-1}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t} Par cette représentation en série, on peut voir l'égalité avec les valeurs spéciales Ti n ( 1 ) = β ( n ) {\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(1)=\beta (n)} , où β ( s ) {\displaystyle \beta (s)} représente la fonction bêta de Dirichlet .
Notes et références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inverse tangent integral » (voir la liste des auteurs) . ↑ a b c d et e Lewin 1981 , Section 2.1, p. 38–39 ↑ William Spence , An essay on the theory of the various orders of logarithmic transcendents; with an inquiry into their applications to the integral calculus and the summation of series , London, 1809 (lire en ligne) ↑ a et b Ramanujan, « On the integral ∫ 0 x tan − 1 t t d t {\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\tan ^{-1}t}{t}}\,dt} », Journal of the Indian Mathematical Society , vol. 7, 1915 , p. 93–96 Appears in: Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , 1927 , 40–43 p. ↑ a et b Lewin 1981 , Section 2.2, p. 39–40 ↑ Lewin 1981 , Section 7.1.2, p. 190
Bibliographie (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Tangent Integral », sur MathWorld L. Lewin , Dilogarithms and Associated Functions , London, Macdonald, 1958 (MR 0105524 , zbMATH 0083.35904 ) L. Lewin , Polylogarithms and Associated Functions , New York, North-Holland, 1981 (ISBN 978-0-444-00550-2 ) Portail de l'analyse