Cercle mixtilinéaire d'un triangle
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Mixtilinear_incircle.png/350px-Mixtilinear_incircle.png)
En géométrie, un cercle mixtilinéaire d'un triangle est un cercle tangent à deux de ses côtés et intérieurement tangent à son cercle circonscrit. Chaque triangle a trois cercles mixtilinéaires uniques, correspondant à chaque sommet du triangle.
Existence et unicité
On prouve l'existence d'un seul des trois cercles mixtilinéaires par symétrie. Le cercle A-exinscrit (tangent extérieurement au côté BC) du triangle est unique.
Soit la composée de l'inversion de pôle A et de rapport , et de la réflexion par rapport à la bissectrice en A. échange les sommets A et A et échange le centre du cercle inscrit avec le centre du cercle A-exinscrit. Puisque l'inversion et la réflexion sont bijectives et conservent les points de contact, fait de même. Ainsi, l'image du cercle A-exinscrit sous est un cercle tangent intérieurement aux côtés AB, AC et au cercle circonscrit de ABC, c'est un cercle A-mixtilinéaire inscrit.
La même application appliquée à un cercle mixtilinéaire associé au sommet A montre qu'il est unique[1].
Construction
- On construit d'abord le centre inscrit par intersection des bissectrices.
- La droite passant par perpendiculaire à intersecte et aux points et respectivement. Ce sont les points de tangence du cercle mixtilinéaire.
- Les perpendiculaires à et passant par les points et respectivement se croisent en un point noté , qui est le centre du cercle mixtilinéaire.
Cette construction est possible, avec le lemme suivant :
Lemme — Le centre du cercle inscrit est le milieu des points de contact du cercle mixtilinéaire aux deux côtés du triangle.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Mixtilinear_incircle_construction.png/400px-Mixtilinear_incircle_construction.png)
Soit le cercle circonscrit du triangle et le point de tangence du -cercle mixtilinéaire avec . Soit l'intersection de avec ; l'intersection de avec . L'homothétie de centre entre et implique que sont les milieux de arcs et respectivement. Le théorème de l'angle inscrit implique que et sont des triplets colinéaires. Le théorème de Pascal appliqué à l'hexagone inscrit dans implique que sont colinéaires. Or les angles et sont égaux, il s'ensuit que est le milieu du segment [1],[2].
Quelques propriétés
Rayon
La formule suivante relie le rayon du cercle inscrit et du rayon du cercle -mixtilinéaire d'un triangle :où est la mesure de l'angle en [3].
Relation aux points sur le cercle circonscrit
- La droite coupe l'arc en son milieu[4],[5].
- Le quadrilatère est harmonique, ce qui signifie que est une symédiane du triangle [1].
Cercles liés au point de tangence avec le cercle circonscrit
et sont deux quadrilatères cycliques[4].
Relation entre les trois cercles mixtilinéaires
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/MixtrilinearIncircles.svg/350px-MixtrilinearIncircles.svg.png)
Les trois droites , et concourent en un point[3], son nombre de Kimberling est X(56)[6]. Il est défini par des coordonnées trilinéaires et coordonnées barycentriques .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/MixtrilinearExcircles.svg/350px-MixtrilinearExcircles.svg.png)
Le centre radial des trois cercles inscrits mixtilignes est un point qui divise avec rapportoù sont respectivement les centres et rayons des cercles inscrit et circonscrit[5].
Voir aussi
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mixtilinear circle » (voir la liste des auteurs).
- ↑ a b et c (en) Jafet Baca, « On Mixtilinear Incircles » (consulté le )
- ↑ Jean-Louis Aymé, « Gaston Albert Gohierre de Longchamps dans les journaux scientifiques » [archive] [PDF]
- ↑ a et b (en) Paul Yui, « Mixtilinear Incircles », The American Mathematical Monthly, vol. 106, no 10, , p. 952–955 (DOI 10.1080/00029890.1999.12005146, lire en ligne, consulté le )
- ↑ a et b (en) Evan Chen, Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads, United States of America, MAA, , 68 p. (ISBN 978-1-61444-411-4)
- ↑ a et b (en) Khoa Lu Nguyen et Juan Carlos Salazar, « On Mixtilinear Incircles and Excircles », (consulté le ), p. 1-6
- ↑ (en) « ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS », faculty.evansville.edu (consulté le )
Portail de la géométrie