Faisceau injectif

En mathématiques, un faisceau injectif est un objet injectif (en) d'une catégorie abélienne de faisceaux.

Typiquement, dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique ${\displaystyle X}$ fixé, un faisceau ${\displaystyle I}$ est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau ${\displaystyle A}$ d'un faisceau ${\displaystyle B}$, tout morphisme injectif de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle I}$ se prolonge en un morphisme de ${\displaystyle B}$ dans ${\displaystyle I}$. Autrement dit, le foncteur (contravariant) exact à gauche ${\displaystyle Hom_{Faisc(X)}(\_,I)}$ est exact.

On en déduit immédiatement :

Théorème — Tout faisceau ${\displaystyle F}$ de groupes abéliens sur X admet une résolution injective, c'est-à-dire qu'il existe une suite exacte longue${\displaystyle 0\to F\to I^{0}\to I^{1}\to \ldots \to I^{n}\to \ldots }$où tous les ${\displaystyle I^{n}}$ sont des faisceaux injectifs de groupes abéliens sur X.

• Pour tout point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, il existe un plongement de la fibre ${\displaystyle F_{x}}$ dans un groupe abélien injectif ${\displaystyle I_{x}}$. Considérons le préfaisceau (qui est un faisceau) appelé faisceau gratte-ciel ${\displaystyle I(x)}$ et défini par :${\displaystyle I(x)(U)={\begin{cases}I_{x}&{\text{si}}\quad x\in U\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$ Alternativement, si ${\displaystyle \{x\}}$ est fermé dans ${\displaystyle X}$ alors ${\displaystyle I(x)={i_{x}}_{*}I_{x}}$ avec ${\displaystyle \{x\}{\stackrel {i_{x}}{\hookrightarrow }}X}$ (plus généralement, ${\displaystyle I(x)={i_{\overline {\{x\}}}}_{*}I_{x}}$).

Pour tout faisceau ${\displaystyle A}$ de groupes abéliens, on a ${\displaystyle Hom_{Faisc(X)}(A,I(x))\cong Hom_{\mathbb {Z} }(A_{x},I_{x})}$. Il s'ensuit que ${\displaystyle I(x)}$ est un faisceau injectif.

• Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle${\displaystyle F\to I^{0}:=\prod _{x\in X}I(x)}$est un monomorphisme de ${\displaystyle F}$ dans un faisceau injectif.

Module injectif

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