L'inégalité de Nesbitt est un cas particulier de l'inégalité de Shapiro pour trois réels ; elle donne un minorant d'une expression rationnelle de ces réels. Elle s'énonce ainsi [1] :
Théorème — Soient Alors
Démonstrations
Première démonstration : par l'inégalité de réarrangement
forme qui est similaire à celle de la preuve précédente.
Quatrième démonstration : par l'inégalité arithmético-géométrique
Appliquons d'abord une transformation de Ravi : posons . Appliquons l'inégalité arithmético-géométrique aux six nombres pour obtenir
Après division par , on obtient
Exprimons à présent en fonction de :
qui, après simplification, donne le résultat.
Cinquième démonstration : par le lemme de Titu
Le lemme de Titu, conséquence directe de l'inégalité de Cauchy–Schwarz, indique que pour toutes familles de réels et de réels positifs , . Utilisons ce lemme pour avec les familles et :
Après développement
ce qui donne
Or, l'inégalité de réarrangement donne , ce qui prouve que le quotient de droite est inférieur ou égal à . Finalement,
Sixième démonstration : utilisation de l'homogénéité
Puisque la partie gauche de l'inégalité est homogène, nous pouvons supposer . En posant , , et . Il suffit de montrer , c'est-à-dire, . Une simple application du lemme de Titu fournit le résultat.
Septième démonstration : par l'inégalité de Jensen
Nous supposons ici aussi . On recherche alors le minimum de
.
Or la fonction définie par est convexe sur , donc d'après l'inégalité de Jensen :
,
d’où l'inégalité voulue.
Huitième démonstration : par l'inégalité de Muirhead
L'inégalité équivaut à .
Avec les notations introduites dans la page sur l'inégalité de Muirhead, cela équivaut à , ce qui s'obtient par le théorème de Muirhead car majorise [1].
Neuvième démonstration
L'inégalité équivaut à ,
or le premier membre peut se mettre sous la forme ,
ce qui prouve l'inégalité, et montre de plus que le cas d'égalité est [1].
Références
↑ ab et cMohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, , p. 305, 325, 390
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nesbitt's inequality » (voir la liste des auteurs).
(en) J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Cambridge University Press, , 1re éd., 316 p. (ISBN0-521-54677-X, lire en ligne), Exercice 5.6, page 84.
(en) A. M. Nesbitt - Problem 15114, Educational Times, numéro 2, pages 37-38, 1903.