En mathématiques, les invariants de Seiberg-Witten sont des invariants importants des 4-variétés différentielles. Parmi leur applications, il y a la preuve de la conjecture de Thom (de), l'inexistence de métriques de courbure scalaire positive, les décompositions en somme connexe, ou les structures symplectiques sur diverses 4-variétés. De plus, ils peuvent distinguer différentes structures différentielles sur les 4-variétés topologiques.
Définition
Soit une variété compacte et différentiable avec une métrique riemannienne et une structure spin Spinc avec un faisceaux de spineurs associés et un faisceau déterminant .
Pour une 2-forme auto-duale générique , l'espace des solutions des équations de Seiberg-Witten perturbées est une variété compacte et orientable de dimension
.
Le groupe de jauge et son sous-groupe opèrent sur . L' espace quotient est un - faisceau de fibres principal sur . Soit sa classe d'Euler.
Si est impair, alors la dimension de un nombre pair . On définit alors
.
Pour , cet invariant ne dépend pas de et et est appelé l'invariant de Seiberg-Witten.
Propriétés
Dans ce qui suit, est impair et . Une classe de cohomologie est appelée classe de base si elle a une structure spinc avec et .
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Bibliographie
John Douglas Moore, Lectures on Seiberg-Witten invariants, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 1629), , 2e éd., viii + 121 (ISBN3-540-41221-2, zbMATH 1036.57014).
Liviu Nicolaescu, Notes on Seiberg-Witten theory, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 28), , 2e éd., xviii + 484 (ISBN0-8218-2145-8, zbMATH 0978.57027).
Alexandru Scorpan, The wild world of 4-manifolds, Providence, RI, American Mathematical Society, , xv + 609 (ISBN0-8218-3749-4, zbMATH1075.57001).
Liens externes
Dietmar Salamon : Spin geometry and Seiberg-Witten invariant