Lemme de Céa

Le lemme de Céa —du nom de Jean Céa— est un lemme mathématique. Il permet de montrer des estimations d'erreurs pour la méthode des éléments finis appliquée aux équations aux dérivées partielles elliptiques.

Énoncé

Soit V {\displaystyle V} un espace de Hilbert réel muni de la norme ‖ ⋅ ‖ . {\displaystyle \|\cdot \|.} Soit a : V × V → R {\displaystyle a:V\times V\to \mathbb {R} } une forme bilinéaire telle que :

  • | a ( v , w ) | ≤ γ ‖ v ‖ ‖ w ‖ {\displaystyle |a(v,w)|\leq \gamma \|v\|\,\|w\|} pour une constante γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} et pour tout v , w {\displaystyle v,w} dans V {\displaystyle V} (continuité)
  • a ( v , v ) ≥ α ‖ v ‖ 2 {\displaystyle a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}} pour une constante α > 0 {\displaystyle \alpha >0} et tout v {\displaystyle v} dans V {\displaystyle V} (coercivité ou V {\displaystyle V} -ellipticité).

Soit L : V → R {\displaystyle L:V\to \mathbb {R} } une forme linéaire continue.

Cherchons un élément u {\displaystyle u} dans V {\displaystyle V} tel que

a ( u , v ) = L ( v ) {\displaystyle a(u,v)=L(v)\,} pour tout v {\displaystyle v} dans V . {\displaystyle V.\,}

Considérons le même problème dans le sous-espace de dimension finie V h {\displaystyle V_{h}} de V , {\displaystyle V,} tel que, u h ∈ V h {\displaystyle u_{h}\in V_{h}} vérifie

a ( u h , v ) = L ( v ) {\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)\,} pour tout v {\displaystyle v} dans V h . {\displaystyle V_{h}.\,}

Le Théorème de Lax-Milgram garantit l'existence et l'unicité d'une solution pour chacun de ces deux problèmes. Le lemme de Céa est l'inégalité suivante

‖ u − u h ‖ ≤ γ α ‖ u − v ‖ {\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\frac {\gamma }{\alpha }}\|u-v\|} pour tout v {\displaystyle v} dans V h . {\displaystyle V_{h}.}

Autrement dit u h {\displaystyle u_{h}} est « la meilleure » approximation de u {\displaystyle u} dans V h , {\displaystyle V_{h},} à une constante multiplicative γ / α {\displaystyle \gamma /\alpha } près.

La preuve est immédiate

α ‖ u − u h ‖ 2 ≤ a ( u − u h , u − u h ) = a ( u − u h , u − v ) + a ( u − u h , v − u h ) = a ( u − u h , u − v ) ≤ γ ‖ u − u h ‖ ‖ u − v ‖ {\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)+a(u-u_{h},v-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \gamma \|u-u_{h}\|\|u-v\|} pour tout v {\displaystyle v} dans V h . {\displaystyle V_{h}.}

Nous avons utilisé la a {\displaystyle a} -orthogonalité de u − u h {\displaystyle u-u_{h}} et V h {\displaystyle V_{h}}

a ( u − u h , v ) = 0 ,   ∀   v ∈ V h {\displaystyle a(u-u_{h},v)=0,\ \forall \ v\in V_{h}}

qui découle directement de V h ⊂ V {\displaystyle V_{h}\subset V}

a ( u , v ) = L ( v ) = a ( u h , v ) {\displaystyle a(u,v)=L(v)=a(u_{h},v)} pour tout v {\displaystyle v} dans V h {\displaystyle V_{h}} .

Note : Le lemme de Céa est aussi valable dans les espaces de Hilbert complexes, on considère une forme sesquilinéaire a ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle a(\cdot ,\cdot )} au lieu d'une forme bilinéaire. L'hypothèse de coercivité devient | a ( v , v ) | ≥ α ‖ v ‖ 2 {\displaystyle |a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}} pour tout v {\displaystyle v} dans V {\displaystyle V} (Notez le module autour de a ( v , v ) {\displaystyle a(v,v)} ).

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Céa's lemma » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

  • (en) Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, vol. 2 (PhD thesis), coll. « Annales de l'institut Fourier 14 », , 345–444 p., PDF (lire en ligne) (Article original de J. Céa)
  • (en) Claes Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-34514-6)
  • (en) Peter Monk, Finite element methods for Maxwell's equations, Oxford/New York/Oxford/New York, Oxford University Press, , 450 p. (ISBN 0-19-850888-3)
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  • (en) Susanne C. Brenner et L. Ridgeway Scott, The mathematical theory of finite element methods, New York/Berlin/Heidelberg, Springer, , 2e éd., 361 p. (ISBN 0-387-95451-1, OCLC 48892839, lire en ligne)
  • (en) Philippe G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems, Philadelphia (Pa.), (SIAM Classics reprint), , 530 p. (ISBN 0-89871-514-8, OCLC 48892573, lire en ligne)
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