Méthode de Bessel

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La méthode de Bessel est une méthode focométrique de détermination expérimentale de la focale d'une lentille mince convergente. Elle porte le nom de Friedrich Wilhelm Bessel, qui l'a publié en 1840^[1].

On considère une lentille mince convergente de focale f', de centre O, de foyers image F' et objet F.

Soient D, la distance entre l'objet A (sur l'axe optique) et l'écran (où l'on visualise l'image A'), et d, la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A', (c’est-à-dire la netteté de l'image sur l'écran). On peut déduire la valeur de la focale f' par la formule :

${\displaystyle f'={\frac {D^{2}-d^{2}}{4.D}}}$

Les formules de conjugaison de Descartes donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport au centre optique O. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille :

${\displaystyle {\frac {1}{\overline {OA'}}}-{\frac {1}{\overline {OA}}}={\frac {1}{\overline {OF'}}}={\frac {1}{f'}}}$

On souhaite que A' soit réelle (c’est-à-dire projetable sur un écran) : ${\displaystyle {\overline {OA'}}>0}$.

Il faut pour cela que A soit placé sur l'axe optique à une distance ${\displaystyle {\overline {OA}}<-f'}$.

On fixe ${\displaystyle D={\overline {AA'}}}$, la distance entre l'objet (A) et l'écran (A') et on pose ${\displaystyle x={\overline {OA}}}$ et ${\displaystyle y={\overline {OA'}}}$, donc

${\displaystyle D={\overline {AA'}}={\overline {OA'}}-{\overline {OA}}\Rightarrow y=D+x}$.

Les relations de conjugaison se réécrivent :

${\displaystyle {\frac {1}{y}}={\frac {1}{f'}}+{\frac {1}{x}}\Rightarrow y={\frac {f'x}{f'+x}}}$.

La combinaison des deux précédentes équations donne bien une équation du second degré en x :

${\displaystyle x^{2}+D.x+f'.D=0}$

Cette équation n'a de solution réelle que si ${\displaystyle \Delta =D^{2}-4.f^{'}.D=D.\left(D-4.f'\right)\geq 0}$

Aussi, il faut que ${\displaystyle D\geq D_{min}=4.f'}$

Si ${\displaystyle D>D_{min}}$, alors ${\displaystyle \Delta >0}$ : il y a deux solutions réelles (il existe alors deux positions de la lentille qui permettent de conjuguer A et A').

Les solutions sont :

${\displaystyle x_{\pm }={\frac {-D\pm {\sqrt {D^{2}-4.f^{'}.D}}}{2}}}$

Aussi, ces deux positions possibles de la lentille sont éloignées de ${\displaystyle \left|x_{+}-x_{-}\right|={\sqrt {D^{2}-4.f^{'}.D}}}$

Cette distance est aussi la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A' : ${\displaystyle d=\left|x_{+}-x_{-}\right|={\sqrt {D^{2}-4.f^{'}.D}}}$

En élevant au carré, on trouve la formule : ${\displaystyle f'={\frac {D^{2}-d^{2}}{4.D}}}$

La méthode de Silbermann apparaît comme un cas particulier de la méthode de Bessel, celui où la position de la lentille est unique (soit d=0).

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