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En mathématiques, la moyenne d'ordre p d'une famille de réels positifs, éventuellement pondérés, est une généralisation des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique. Elle est également dite moyenne de Hölder, à cause de son lien avec la norme d'ordre p, ou norme de Hölder.
Définitions
Moyenne d'ordre p
Soit p un nombre réel non nul. On définit la moyenne d'ordre p des réels strictement positifs x1, ... , xn par :
Pour p = 0, on la pose comme étant la moyenne géométrique (ce qui correspond au cas limite de la moyenne d'ordre p lorsque p tend vers 0) :
.
Les exposants infinis positif et négatif correspondent respectivement au maximum et au minimum, dans les cas classique et pondéré (ce qui correspond également au cas limite des moyennes d'ordres approchant de l'infini) :
Versions pondérées
On peut également définir les moyennes pondérées d'ordre p pour une suite de poids positifs mi vérifiant par [1] :
Le cas classique correspond à l'équirépartition des poids : mi = 1/n.
Propriétés élémentaires et remarques
On remarquera le lien avec la norme d'ordre p : .
Comme la plupart des moyennes, la moyenne d'ordre p est une fonction homogène de degré 1 en x1, ... , xn. Ainsi, si b est un réel strictement positif, la moyenne généralisée d'ordre p des nombres bx1, ... , bxn est égale à b multiplié par la moyenne généralisée des x1, ... , xn.
En particulier, pour p dans {−1, 0, 1}, l'inégalité des moyennes généralisées implique une inégalité sur les moyennes pythagoriciennes ainsi que l'inégalité arithmético-géométrique.
Preuve
On travaillera ici sur les moyennes généralisées pondérées, et on supposera :
La preuve sur les moyennes généralisées s'obtiendra en prenant mi = 1/n.
Équivalence des inégalités entre les moyennes de signes opposés
Supposons qu'une inégalité entre les moyennes généralisées d'ordre p et q soit vraie :
Alors en particulier :
On prend l'inverse des nombres, ce qui change le sens de l'inégalité car les xi sont positifs :
ce qui donne le résultat pour les moyennes généralisées d'ordre −p et −q. On peut faire le calcul réciproque, montrant ainsi l'équivalence des inégalités, ce qui sera utile par la suite.
Moyenne géométrique
Pour tout q > 0, on a
Démonstration
Par l'inégalité de Jensen appliquée à la fonction logarithme, qui est concave :
En passant à l'exponentielle, on obtient
et en prenant les puissances q-ièmes des xi, on obtient le résultat voulu pour l'inégalité avec q positif. Le cas négatif se traite de façon similaire.
Inégalité entre deux moyennes pondérées
Il reste à prouver que si p < q, alors on a :
Si p est négatif et q positif, on peut utiliser le résultat précédent :
Supposons maintenant p et q positifs. On définit la fonction f : R+ → R+. f est une fonction puissance, deux fois dérivable :
qui est positive sur le domaine de définition de f, car q > p, ainsi f est convexe.
Par exemple, la moyenne géométrique s'obtient par f(x) = ln(x), et la moyenne d'ordre p avec f(x) = xp.
Applications
En traitement du signal
Une moyenne d'ordre p sert de moyenne glissante non linéaire car elle fait ressortir les petites valeurs pour p petit et amplifie les grandes valeurs pour p grand.
Notes et références
↑J. Lelong-Ferrand et J.M. Arnaudiès, Cours de mathématiques tome 2 : Analyse, Dunod université, , p. 586