Partie positive et partie négative d'une fonction
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Partie_positive_et_partie_n%C3%A9gative_de_f%28x%29_%3D_x%5E2_-_4..png/220px-Partie_positive_et_partie_n%C3%A9gative_de_f%28x%29_%3D_x%5E2_-_4..png)
En mathématiques, à toute fonction réelle f, on peut associer deux fonctions positives, sa partie positive f+ et sa partie négative f−, définies respectivement par :
Malgré son nom, la « partie négative » est donc positive.
Intuitivement, le graphe par exemple de la partie positive est obtenu en tronquant le graphe de f quand il passe sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire encore en posant 0 en ces points et en laissant inchangé le reste du graphe.
Relations avec la fonction initiale
Les parties positive et négative sont liées à la fonction initiale par les deux relations suivantes :
À partir de ces deux parties on peut exprimer les parties positives et négatives par :
Une autre relation, utilisant les crochets de Iverson est :
La décomposition d'une fonction quelconque en deux fonctions positives se révèle utile par exemple en théorie de l'intégration.
Partie positive et partie négative d'un réel
La partie positive x+ et la partie négative x– d'un nombre réel x sont les deux réels positifs définis par :
On en déduit les mêmes types de relation que pour les fonctions :
ainsi que :
Les parties positive et négative d'une fonction f sont donc simplement ses composées par les applications x ↦ x+ et x ↦ x− respectivement.
Liens externes
- (en) John Renze, « Positive Part », sur MathWorld
- (en) John Renze, « Negative Part », sur MathWorld
Portail de l'analyse