Partie positive et partie négative d'une fonction

En mathématiques, à toute fonction réelle f, on peut associer deux fonctions positives, sa partie positive f⁺ et sa partie négative f⁻, définies respectivement par :

${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),\,0)={\begin{cases}f(x)&\mathrm {si} \ f(x)>0\\0&\mathrm {sinon} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle f^{-}(x)=-\min(f(x),\,0)={\begin{cases}-f(x)&\mathrm {si} \ f(x)<0\\0&\mathrm {sinon} .\end{cases}}}$

Malgré son nom, la « partie négative » est donc positive.

Intuitivement, le graphe par exemple de la partie positive est obtenu en tronquant le graphe de f quand il passe sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire encore en posant 0 en ces points et en laissant inchangé le reste du graphe.

Les parties positive et négative sont liées à la fonction initiale par les deux relations suivantes :

${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},}$

${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$

À partir de ces deux parties on peut exprimer les parties positives et négatives par :

${\displaystyle f^{+}={\frac {|f|+f}{2}},}$

${\displaystyle f^{-}={\frac {|f|-f}{2}}.}$

Une autre relation, utilisant les crochets de Iverson est :

${\displaystyle f^{+}=[f>0]f,}$

${\displaystyle f^{-}=-[f<0]f.}$

La décomposition d'une fonction quelconque en deux fonctions positives se révèle utile par exemple en théorie de l'intégration.

La partie positive x⁺ et la partie négative x^– d'un nombre réel x sont les deux réels positifs définis par :

${\displaystyle x^{+}=\max(x,\,0),}$

${\displaystyle x^{-}=-\min(x,\,0).}$

On en déduit les mêmes types de relation que pour les fonctions :

${\displaystyle x=x^{+}-x^{-},}$

${\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-},}$

ainsi que :

${\displaystyle x^{+}={\frac {|x|+x}{2}},}$

${\displaystyle x^{-}={\frac {|x|-x}{2}}.}$

Les parties positive et négative d'une fonction f sont donc simplement ses composées par les applications x ↦ x⁺ et x ↦ x⁻ respectivement.

• (en) John Renze, « Positive Part », sur MathWorld
• (en) John Renze, « Negative Part », sur MathWorld

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