Processus convexe

Un processus convexe est une multifonction dont le graphe est un cône convexe pointé. Un processus convexe étend la notion d'application linéaire (dont le graphe est un sous-espace vectoriel), puisqu'un processus convexe univoque est une application linéaire. On peut lui associer une norme.

Cette notion a été introduite par Rockafellar (1967^[1] et 1970^[2]). Elle intervient, par exemple, dans la généralisation du théorème des fonctions implicites aux multifonctions.

Connaissances supposées : les bases de l'analyse multifonctionnelle et de l'analyse convexe.

Soient ${\displaystyle \mathbb {E} }$ et ${\displaystyle \mathbb {F} }$ deux espaces vectoriels réels. Un processus convexe est une multifonction ${\displaystyle T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F} }$ dont le graphe ${\displaystyle {\mathcal {G}}(T):=\{(x,y)\in \mathbb {E} \times \mathbb {F} :y\in T(x)\}}$ est un cône convexe pointé^[2] (il s'agit donc d'une multifonction convexe particulière). Il revient au même de dire (et il sera parfois plus simple de vérifier) qu'un processus convexe est une multifonction ${\displaystyle T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F} }$ qui satisfait aux propriétés suivantes :

• pour tout ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}\in \mathbb {E} }$, on a ${\displaystyle T(x_{1}+x_{2})\supset T(x_{1})+T(x_{2})}$,
• pour tout ${\displaystyle \alpha >0}$ et pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {E} }$, on a ${\displaystyle T(\alpha x)=\alpha T(x)}$,
• ${\displaystyle 0\in T(0)}$.

On dit qu'un processus convexe ${\displaystyle T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F} }$ est fermé si son graphe ${\displaystyle {\mathcal {G}}(T)}$ est fermé dans l'espace produit ${\displaystyle \mathbb {E} \times \mathbb {F} .}$

Rappelons quelques notions liées à une multifonction ${\displaystyle T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F} }$ qui nous serons utiles.

• Le domaine de ${\displaystyle T}$ est défini et noté par ${\displaystyle \operatorname {dom} T:=\{x\in \mathbb {E} :T(x)\neq \varnothing \}}$ ; c'est la projection canonique de ${\displaystyle {\mathcal {G}}(T)}$ sur ${\displaystyle \mathbb {E} }$.
• L'image de ${\displaystyle T}$ est définie et notée par ${\displaystyle {\mathcal {R}}(T):=\{y\in \mathbb {F} :\exists \,x\in \mathbb {E} ~{\mbox{tel que}}~y\in T(x)\}}$ ; c'est la projection canonique de ${\displaystyle {\mathcal {G}}(T)}$ sur ${\displaystyle \mathbb {F} }$.
• La fonction réciproque de ${\displaystyle T}$ est la multifonction ${\displaystyle T^{-1}:\mathbb {F} \multimap \mathbb {E} }$ définie par ${\displaystyle T^{-1}(y):=\{x\in \mathbb {E} :y\in T(x)\}}$. Dès lors ${\displaystyle y\in T(x)}$ si, et seulement si, ${\displaystyle x\in T^{-1}(y)}$.
• On dit que ${\displaystyle T}$ est semi-continue inférieurement en ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {E} }$ relativement à une partie ${\displaystyle P_{0}\subset \mathbb {E} }$ contenant ${\displaystyle x_{0}}$, si pour tout ouvert ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle \mathbb {F} }$ tel que ${\displaystyle V\cap T(x_{0})\neq \varnothing }$, il existe un ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle P_{0}}$ (muni de sa topologie induite de celle de ${\displaystyle \mathbb {E} }$) contenant ${\displaystyle x_{0}}$ tel que, pour tout ${\displaystyle x\in U}$, on a ${\displaystyle V\cap T(x)\neq \varnothing }$.
• On dit que ${\displaystyle T}$ est ouverte en ${\displaystyle 0}$, si pour tout ouvert ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle \mathbb {E} }$ contenant 0, ${\displaystyle T(U)}$ est un voisinage de 0 dans ${\displaystyle {\mathcal {R}}(T)}$ (muni de la topologie induite de celle de ${\displaystyle \mathbb {F} }$).

Voici un exemple instructif de processus convexe : ${\displaystyle \mathbb {E} =\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbb {F} :=\mathbb {R} ^{m}}$ et ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\multimap \mathbb {R} ^{m}}$ est défini en ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ par

${\displaystyle T(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\{y\in \mathbb {R} ^{m}:y\leqslant Bx\}&{\mbox{si}}~Ax\geqslant 0\\\varnothing &{\mbox{sinon,}}\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$ et ${\displaystyle B:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ sont des applications linéaires. On voit que le processus convexe réciproque a pour valeur en ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ :

${\displaystyle T^{-1}(y)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:Ax\geqslant 0,~Bx\geqslant y\}.}$

Dès lors, ${\displaystyle T^{-1}(y)}$ donne l'ensemble des solutions d'un certain système d'inégalités linéaires, dont une partie des inégalités est perturbée par le vecteur ${\displaystyle y}$.

Pour un processus convexe ${\displaystyle T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F} }$, on a^[2]

• pour tout convexe ${\displaystyle C\subset \mathbb {E} }$, ${\displaystyle T(C)}$ est convexe dans ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (parce que ${\displaystyle T}$ est une multifonction convexe),
• ${\displaystyle \operatorname {dom} T}$ est un cône convexe pointé,
• ${\displaystyle T(0)}$ est un cône convexe et ${\displaystyle T(0)=\{y\in \mathbb {F} :T(x)+y\subset T(x)}$ pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {E} \}}$,
• ${\displaystyle T^{-1}}$ est un processus convexe,
• ${\displaystyle T^{-1}(0)=\{x\in \mathbb {E} :T(x')\subset T(x'+x)}$ pour tout ${\displaystyle x'\in \mathbb {E} \}}$,
• un processus convexe univoque est une application linéaire.

On suppose dans cette section que ${\displaystyle \mathbb {E} }$ et ${\displaystyle \mathbb {F} }$ sont des espaces normés.

On peut définir la norme d'un processus convexe ${\displaystyle T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F} }$ par^[3]

${\displaystyle \|T\|:=\sup _{\|x\|\leqslant 1 \atop x\in \operatorname {dom} T}\,\inf _{y\in T(x)}\|y\|.}$

Contrairement aux applications linéaires, la norme d'un processus convexe entre espaces de dimension finie n'est pas nécessairement finie, même s'il est fermé. Par exemple^[3], la multifonction ${\displaystyle T:\mathbb {R} \multimap \mathbb {R} ^{2}}$ définie en ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ par

${\displaystyle T(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\{y\in \mathbb {R} ^{2}:y_{1}^{2}\leqslant xy_{2},~y_{2}\geqslant 0\}&{\mbox{si}}~x\geqslant 0\\\varnothing &{\mbox{sinon,}}\end{array}}\right.}$

est un processus convexe fermé et son application réciproque ${\displaystyle T^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\multimap \mathbb {R} }$ prend en ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{2}}$ la valeur

${\displaystyle T^{-1}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}\{x\in \mathbb {R} :x\geqslant y_{1}^{2}/y_{2}\}&{\mbox{si}}~y_{2}>0\\\mathbb {R} _{+}&{\mbox{si}}~y=0\\\varnothing &{\mbox{sinon.}}\end{array}}\right.}$

Cependant ${\displaystyle \|T^{-1}\|=+\infty }$, car si ${\displaystyle y_{k}:=(1,1/k)}$, avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}}$, on a

${\displaystyle \|T^{-1}\|\geqslant \sup _{k\to \infty }\inf _{x\in T(y_{k}/\|y_{k}\|)}\,|x|=\sup _{k\to \infty }(k/\|y_{k}\|)=+\infty .}$

• Multifonction convexe

• (en) S.M. Robinson (1972). Normed convex processes. Translations of the American Mathematical Society, 174, 127-140.
• (en) R.T. Rockafellar (1967). Monotone processes of convex and concave type. Memoirs of the American Mathematical Society, 77. American Mathematical Society, Providence, R.I., USA.
• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

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